Sätze und Beweise WS 13/14 - Versionsgeschichte

Tutorin Anne: /* Beweise */

2013-12-12T08:28:26Z

Beweise

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2013, 08:28 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	* Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten geschnitten werden nicht parallel. Stimmt das so? --[[Benutzer:Der Kuckuck\|Der Kuckuck]] ([[Benutzer Diskussion:Der Kuckuck\|Diskussion]]) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)		* Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten geschnitten werden nicht parallel. Stimmt das so? --[[Benutzer:Der Kuckuck\|Der Kuckuck]] ([[Benutzer Diskussion:Der Kuckuck\|Diskussion]]) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)
			* Die Idee ist korrekt, die Formulierung eher ungünstig. Es kommt in diesem Satz nicht heraus, dass die Wechselwinkel etwas mit den Geraden zu tun haben. Es ist besser zunächst einen allgemeinen Satz zu schreiben, in dem die Ausgangslage erklärt wird und dann die Kontraposition z.B. im Wenn-Dann-Format zu formulieren.
			* z.B. Es seinen a und b zwei Geraden, die von einer dritten Gerade c geschnitten werden. α und β sind zwei Wechselwinkel, die bei diesem Schnitt entstehen. ...--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne\|Diskussion]]) 09:28, 12. Dez. 2013 (CET)

	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Der Kuckuck: /* Beweise */

2013-12-09T19:48:13Z

Beweise

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2013, 19:48 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	'''Aufgabe:'''		'''Aufgabe:'''
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	* Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten ~~geschnittenen~~ werden nicht parallel. Stimmt das so? --[[Benutzer:Der Kuckuck\|Der Kuckuck]] ([[Benutzer Diskussion:Der Kuckuck\|Diskussion]]) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)		* Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten geschnitten werden nicht parallel. Stimmt das so? --[[Benutzer:Der Kuckuck\|Der Kuckuck]] ([[Benutzer Diskussion:Der Kuckuck\|Diskussion]]) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)

	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Der Kuckuck: /* Beweise */

2013-12-09T19:46:17Z

Beweise

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2013, 19:46 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	'''Aufgabe:'''		'''Aufgabe:'''
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	* (~~Lösungsvorschläge~~)		* Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden die von einer dritten geschnittenen werden nicht parallel. Stimmt das so? --[[Benutzer:Der Kuckuck\|Der Kuckuck]] ([[Benutzer Diskussion:Der Kuckuck\|Diskussion]]) 20:46, 9. Dez. 2013 (CET)

	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Tutorin Anne: /* Implikationen */

2013-12-03T08:27:16Z

Implikationen

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2013, 08:27 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br />
	* Haben 2 Geraden die beide von einer dritten geschnitten werden konkruente Wechselwinkel, so sind sie parallel zueinander. --[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)		* Haben 2 Geraden, die beide von einer dritten geschnitten werden, konkruente Wechselwinkel, so sind sie parallel zueinander. --[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
			**Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne\|Diskussion]]) 09:27, 3. Dez. 2013 (CET)
	<br />		<br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br />
	* Genau dann wenn 2 Geraden parallel sind und von einer dritten geschnitten werden, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)		* Genau dann wenn 2 Geraden parallel sind und von einer dritten geschnitten werden, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
			** Ebenfalls richtig. Oder auch so wie bei deiner Umkehrung: Genau dann wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne\|Diskussion]]) 09:27, 3. Dez. 2013 (CET)
	<br />		<br />

RoteBeere: /* Implikationen */

2013-11-28T16:56:14Z

Implikationen

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2013, 16:56 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br />
	* (~~Lösungsvorschläge~~)		* Haben 2 Geraden die beide von einer dritten geschnitten werden konkruente Wechselwinkel, so sind sie parallel zueinander. --[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
	<br />		<br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br />
	* (~~Lösungsvorschläge~~)		* Genau dann wenn 2 Geraden parallel sind und von einer dritten geschnitten werden, sind ihrer Wechselwinkel konkruent.--[[Benutzer:RoteBeere\|RoteBeere]] 17:56, 28. Nov. 2013 (CET)
	<br />		<br />

	==notwendige und hinreichende Bedingung==		==notwendige und hinreichende Bedingung==
	An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung'''<br /> Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:<br />		An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung'''<br /> Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:<br />

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Implikationen== ''Wechselwinkelsatz:
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.''

'' Betrachten wir diesen Satz et…“

2013-10-31T09:56:06Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Implikationen== ''Wechselwinkelsatz: ''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' '' Betrachten wir diesen Satz et…“

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==Implikationen==
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
* (Lösungsvorschläge)
 
Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
* (Lösungsvorschläge)
 
==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch von einem '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung). Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
* (Lösungsvorschläge)

[[Category:Einführung_P]]

Sätze und Beweise WS 13/14 - Versionsgeschichte

Tutorin Anne: /* Beweise */

Der Kuckuck: /* Beweise */

Der Kuckuck: /* Beweise */

Tutorin Anne: /* Implikationen */

RoteBeere: /* Implikationen */

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Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Implikationen== ''Wechselwinkelsatz:
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.''

'' Betrachten wir diesen Satz et…“