Serie 02 zum 21.11.17 und 28.11.17 - Versionsgeschichte

m.g. am 19. November 2017 um 17:22 Uhr

2017-11-19T17:22:38Z

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Zeile 24:		Zeile 24:
	=Aufgabe 2.9=		=Aufgabe 2.9=
	Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ.		Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ.
			=Aufgabe 2.10=
			Beweisen Sie:
			#Es gibt genau eine Typ von Gruppen der Ordnung 3.
			#Es gibt genau zwei Typen von Gruppen der Ordnung 4.

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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 19. November 2017 um 17:17 Uhr

2017-11-19T17:17:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2017, 17:17 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenaddition,		# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenaddition,
	# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenmultiplikation.		# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenmultiplikation.
			=Aufgabe 2.8=
			Es sei <math>[G,]</math> eine Gruppe in deren Gruppentafel in der Hauptdiagonalen an jeder Position das Einselement <math>e</math> der Gruppe <math>[G,]</math> auftritt. Was wissen Sie über die Ordnungen aller Elemente von <math>[G,*]</math>?
			=Aufgabe 2.9=
			Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 19. November 2017 um 17:11 Uhr

2017-11-19T17:11:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2017, 17:11 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	=Aufgabe 2.4.=		=Aufgabe 2.4.=
	Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G,\odot]</math> gilt für beliebige <math>a, b \in G: (a\odot b)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1}</math>.		Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G,\odot]</math> gilt für beliebige <math>a, b \in G: (a\odot b)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1}</math>.
			=Aufgabe 2.5=
			Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: In der Gruppentafel von <math>[G, \oplus ]</math> tritt jedes Element aus <math>G</math> in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auf.
			=Aufgabe 2.6=
			Unter der Ordnung <math>\|G\|</math>einer Gruppe <math>[G,\cdot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente von <math>G</math>.
			Untersuchen Sie die Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 hinsichtlich der auftretenden Gruppenordnungen in diesem Graphen. Was stellen Sie fest?
			=Aufgabe 2.7=
			Unter der Ordnung <math>\|g\|</math> eines Elementes <math>g</math> einer Gruppe <math>[G,+]</math> versteht man die kleinste Zahl <math>m \in \mathbb{N}</math> für die gilt <math>g^m=n</math>, wobei unter <math>n</math> das neutrale Element der Gruppe <math>[G,+]</math> zu verstehen ist. Bestimmen Sie alle Elementordnungen in folgenden Gruppen
			# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenaddition,
			# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenmultiplikation.
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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 19. November 2017 um 16:56 Uhr

2017-11-19T16:56:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. November 2017, 16:56 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
	=Aufgabe 2.1=		=Aufgabe 2.1=
	Unter einer Untergruppe einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> versteht man eine Teilmenge <math>U</math> von <math>G</math>, die bezüglich <math>\odot</math> sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen ~~sie~~ Beziehungen zum Haus der Vierecke her.		Unter einer Untergruppe einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> versteht man eine Teilmenge <math>U</math> von <math>G</math>, die bezüglich <math>\odot</math> sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen Sie Beziehungen zum Haus der Vierecke her.
	=Aufgabe 2.2=		=Aufgabe 2.2=
	Stellen ~~sie~~ die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar.		Stellen Sie die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar.
	=Aufgabe 2.3=		=Aufgabe 2.3=
	Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>		Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>
	</math> ist für beliebige <math>[G,\otimes]</math> sind die Gleichungen <math>a \otimes x=b</math> und <math>y \otimes a=b</math> immer eindeutig lösbar für beliebige <math>a,b \in G</math>.		</math> ist für beliebige <math>[G,\otimes]</math> sind die Gleichungen <math>a \otimes x=b</math> und <math>y \otimes a=b</math> immer eindeutig lösbar für beliebige <math>a,b \in G</math>.
			=Aufgabe 2.4.=
			Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G,\odot]</math> gilt für beliebige <math>a, b \in G: (a\odot b)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1}</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

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=Aufgabe 2.1=
Unter einer Untergruppe einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> versteht man eine Teilmenge <math>U</math> von <math>G</math>, die bezüglich <math>\odot</math> sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen sie Beziehungen zum Haus der Vierecke her.
=Aufgabe 2.2=
Stellen sie die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar.
=Aufgabe 2.3=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>
</math> ist für beliebige <math>[G,\otimes]</math> sind die Gleichungen <math>a \otimes x=b</math> und <math>y \otimes a=b</math> immer eindeutig lösbar für beliebige <math>a,b \in G</math>.

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[[Kategorie:Algebra]]

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*m.g.* am 19. November 2017 um 17:22 Uhr

*m.g.* am 19. November 2017 um 17:17 Uhr

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