Serie 3 (WS 12 13 - Versionsgeschichte

m.g. am 11. November 2012 um 18:58 Uhr

2012-11-11T18:58:55Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 =Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 2=
 ==Aufgabe 3.1==
@@ Zeile 70: / Zeile 74: @@
 [[Lösung von Aufgabe 3.6 WS_12_13]]

m.g.: /* Aufgabe 3.6 */

2012-11-11T18:56:46Z

Aufgabe 3.6

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:56 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />		'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />

	Beweis 1)		'''Beweis 1)'''<br />
	Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
Zeile 62:		Zeile 62:
	Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
	Beweis 2)		'''Beweis 2)'''<br />
	Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />

m.g.: /* Aufgabe 3.5 */

2012-11-11T18:52:42Z

Aufgabe 3.5

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:52 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:

	[[Lösung von Aufgabe 3.5 WS_12_13]]		[[Lösung von Aufgabe 3.5 WS_12_13]]

			==Aufgabe 3.6==
			'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
			'''<br /><br />
			'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />

			Beweis 1)
			Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
			Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
			Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
			Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
			<br /><br />
			Beweis 2)
			Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
			Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
			Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
			Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
			b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

			[[Lösung von Aufgabe 3.6 WS_12_13]]

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

2012-11-11T18:47:16Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:47 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	[[Lösung von Aufgabe 3.4 WS_12_13]]		[[Lösung von Aufgabe 3.4 WS_12_13]]

			==Aufgabe 3.5==
			Es gilt der Satz (IWSV): In jedem Viereck beträgt die Summe der Größen der Innenwinkel 360°.<br />

			Formulieren Sie die Kontraposition von Satz (IWSV)

			[[Lösung von Aufgabe 3.5 WS_12_13]]

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

2012-11-11T18:39:20Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:39 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	# Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden <math>a</math> und <math>b</math> durch eine dritte Gerade <math>c</math> kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind <math>a</math> und <math>b</math> zueinander parallel.		# Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden <math>a</math> und <math>b</math> durch eine dritte Gerade <math>c</math> kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind <math>a</math> und <math>b</math> zueinander parallel.
	# Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gibt es höchsten eine Parallele zu <math>g</math>.		# Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gibt es höchsten eine Parallele zu <math>g</math>.

			[[Lösung von Aufgabe 3.4 WS_12_13]]

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

2012-11-11T18:38:49Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:38 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />		Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />

	Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, <br />dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.		Satz (*): Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, <br />dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.

	<br /><br />		<br /><br />

			Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).<br />

			Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:<br />
			# Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden <math>a</math> und <math>b</math> durch eine dritte Gerade <math>c</math> kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind <math>a</math> und <math>b</math> zueinander parallel.
			# Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gibt es höchsten eine Parallele zu <math>g</math>.

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

2012-11-11T18:33:16Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:33 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />		Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />

	Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.		Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, <br />dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.

	<br /><br />		<br /><br />

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

2012-11-11T18:32:54Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:32 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />		Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />

	Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.		Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.

	<br /><br />		<br /><br />

m.g.: /* Aufgabe 3.3 */

2012-11-11T18:32:22Z

Aufgabe 3.3

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:32 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/innenwinkelsumme.swf" width="500" height="300" frameborder="2"></iframe><br /><br />		<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/innenwinkelsumme.swf" width="500" height="300" frameborder="2"></iframe><br /><br />
	Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?		Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?

			[[Lösung von Aufgabe 3.3 WS_12_13]]

			==Aufgabe 3.4==
			Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />

			Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.

			<br /><br />

m.g.: /* Aufgabe 3.3 */

2012-11-11T18:19:53Z

Aufgabe 3.3

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2012, 18:19 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" <math>\alpha</math> und <math>\beta </math> ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel <math>\gamma</math> derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)<br /><br />		Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" <math>\alpha</math> und <math>\beta </math> ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel <math>\gamma</math> derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)<br /><br />
	<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/innenwinkelsumme.swf" width="500" height="300" frameborder="2"></iframe><br /><br />		<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/innenwinkelsumme.swf" width="500" height="300" frameborder="2"></iframe><br /><br />
			Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?

Serie 3 (WS 12 13 - Versionsgeschichte

*m.g.* am 11. November 2012 um 18:58 Uhr

*m.g.*: /* Aufgabe 3.6 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.5 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.4 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.3 */

*m.g.*: /* Aufgabe 3.3 */

m.g. am 11. November 2012 um 18:58 Uhr

m.g.: /* Aufgabe 3.6 */

m.g.: /* Aufgabe 3.5 */

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

m.g.: /* Aufgabe 3.4 */

m.g.: /* Aufgabe 3.3 */

m.g.: /* Aufgabe 3.3 */