Strecken - Versionsgeschichte

Sternchen: /* Beweis von Satz II.4 */

2010-07-01T16:56:39Z

Beweis von Satz II.4

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2010, 16:56 Uhr
Zeile 154:		Zeile 154:

	nur mal drüberschauen, ob die Formulierung so richtig ist--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]		nur mal drüberschauen, ob die Formulierung so richtig ist--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]
			:Fehlt da nicht der eigentliche Beweis? --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 16:56, 1. Jul. 2010 (UTC)

TimoRR: /* Beweis von Satz II.4 */

2010-06-23T19:26:41Z

Beweis von Satz II.4

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juni 2010, 19:26 Uhr
Zeile 138:		Zeile 138:

	'''(1) Keine der Teilmengen ist die leere Menge:<br />'''		'''(1) Keine der Teilmengen ist die leere Menge:<br />'''
	<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}~~</math>~~ \not= ~~<math>~~ \left\{ \right\}</math><br />		<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math><br />
	<math> \left\{ O \right\}~~</math>~~ \not= ~~<math>~~\left\{ \right\}</math><br />		<math> \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math><br />
	<math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}~~</math>~~ \not= ~~<math>~~ \left\{ \right\}</math><br />		<math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math><br />

	'''(2) Je zwei Teilmengen sind disjunkt:'''<br />		'''(2) Je zwei Teilmengen sind disjunkt:'''<br />
Zeile 153:		Zeile 153:
	<math> T1 \cup T2 \cup T3 = \left\{ G\right\}</math>		<math> T1 \cup T2 \cup T3 = \left\{ G\right\}</math>

	--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]		nur mal drüberschauen, ob die Formulierung so richtig ist--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]

TimoRR: /* Beweis von Satz II.4 */

2010-06-23T19:23:41Z

Beweis von Satz II.4

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juni 2010, 19:23 Uhr
Zeile 129:		Zeile 129:

	===== Beweis von Satz II.4 =====		===== Beweis von Satz II.4 =====
	::~~Das~~ ist ~~nicht schwer~~.		Es sei G die Punktmenge der Geraden g und <math>G = \left\{ T1, T2, T3 \right\}</math> eine Menge von Teilmengen der Menge G.

			<math> T1:= \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math><br />
			<math> T2:= \left\{ O \right\}</math><br />
			<math> T3:= \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math><br />

			Es müssen alle notwendigen Bedingungen für eine Klasseneinteilung erfüllt sein:

			'''(1) Keine der Teilmengen ist die leere Menge:<br />'''
			<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math> \not= <math> \left\{ \right\}</math><br />
			<math> \left\{ O \right\}</math> \not= <math>\left\{ \right\}</math><br />
			<math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> \not= <math> \left\{ \right\}</math><br />

			'''(2) Je zwei Teilmengen sind disjunkt:'''<br />
			<math> T1 \cap T2 = \left\{ \right\}</math>,
			<math> T1 \cap T3 = \left\{ \right\}</math>,
			<math> T2 \cap T1 = \left\{ \right\}</math>,
			<math> T2 \cap T3 = \left\{ \right\}</math>,
			<math> T3 \cap T1 = \left\{ \right\}</math>,
			<math> T3 \cap T2 = \left\{ \right\}</math>

			'''(3) Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge G'''<br />
			<math> T1 \cup T2 \cup T3 = \left\{ G\right\}</math>

			--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]

Schnirch: /* Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

2010-06-08T14:40:39Z

Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2010, 14:40 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:
	<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOKcuTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrrbts2FP69PgWhBUWL1Y6oq43aLZK02wpkS7BkwVAMK2iJlrnIkitRvrTo/+09Nuy9+iQ7JCXbsh3VTlLn0uaPLJI6PPy+85E8ZFrPx/0QDWmSsjhqa7iua4hGXuyzKGhrGe/WGtrzZw9aAY0D2kkI6sZJn/C2ZtYNTZRn7NmDb1ppLx4hEsomZ4yO2lqXhCnVUDpIKPHTHqW8VE6yMQsZSSZHnT+px9NZhTLyKhpk0AtPMijz+v4hS4vXXdnhIGT8BRsynyYojL225tjgOvw6owlnHgnbmqWrEqOtGQuVUGSK2l6csHdxxEXzmfEulCCUsncUvtRFWWtXDrRFMy9kPiORGIz0AxohNGI+7wF6RkPYpCzogbMNy1DmvDhO/JNJymkfjV/TJBb+GALpSf5mueItBcegR1uXVfNv0gwdnlDOgZcUkTGdIRYkzC+QEr9fpftx6E+rBzGL+AEZ8CyRnJp50QmfCPvQVSL83YuCkOZlBkDeo955Jx6fSBCwqUyfTgbyE+lPJziIwzhBiRiODQ3yZ0c9ZRvh6LSVLtvoskVuQxid1uOmIVvIZ0c9ZauQRcq1fOC4GDTWi25YikSBQBFCcTr4kHQoUKuhLGL8sHiBEDjPh4rVBz9n/Q5oYD4Ipjbxddls7S6ET+ucJhENVYxEQG0WZykaimBUfUlHfOqxPryqihwSIuj6FRxQpT4NElo4rhSkAJO1+nwcLhS3dgsnhA8p+OpxmApgPFyMRSiVg0raWr8e1DXkEy5KhRRC2qegEy5jQobUFJs9bTopxFLfRXzm9TOUoXplfMhIIuGgR6CkUEBIJqD2+SFJe0fdbko5Gre1GrZAOeI5V/1T7JdxIBHgKQcJkhwI+4KxAaV+PgHyPMzRAHqUopmjQ6KYit7Mup53Z9SbGnqnvpaNlMLE3CA7dnP6FWSfAG//xsDT1WjMbYBn15tOAZ7e2Aw9L+73SeSjiPShq0OYHSRkTKwZiOgi/hDBAkkFU8aLikCZyg0sESEmminOgVaee3gPJB7RFBRtz4a5e1Wy9EtQ5TYldNiuYmqGdU2vN3Bz/q8hv4ewNRTyOrChu3MNFifeisHTt5Fqk6rpj/VhbfYYr2btWMZ8mbZgia/jar7Kwjm+lHCwodYu+by8eBQjNWsb2nHrlm6bpuXojYZj6NJjOevVHdfCuGE6puFYrms6V9HVGSAYJ6uVdbzEVFbN1FAZK6jILtaWUaWt8hJ8neKqkI9VN50VcOO6YdiNBnZMxzVtw3BMifaso3VGN7cm5/LxSMJpCnuEfPgc3qVYEB0PBAGXJm15OhxuRNrwLpGm5raJsLE8990ATVCagGkh/hyIkaaaZmgXDbUFyHc/RcboLpGB61bTarquo9uuazmOo/ZNkPVYkCUZuulaNrZN/LKG3etnp2LrQKOA9xbUMlqSSadaJlHWpwnzpqB2pEFAIsvxWDH8tTHHnw4kLw8k0kkfjR6vip1FD70te+jnHo7X9M/fsn+ndMxx7uPDt1nMn74ePTp+gvaeoP3HqkBb9prDV1rZxLobEEi1fKZ2AtD6KG/so4chf4qmwT8/OhvL4YnHhpuUJV122Zj6qmTmEUsPySn9bbFYHoWkQE63GIs6FoGdRS61PFuA4IvDjNMTDxLR6DD21EZHTsW2mokNazkPWkmFsUgF8HC8GRXGlan4+Pe/ggn08a//kHj7B+FVvBRHHzkx4nFveTFX8LIP1GzAi3l1iQQgkS+IivKKdUIDUb7uBo9Ur1xpbq1An1y8qWiunfKWUpZVHEpVgZ78LWrrcyXDi7BUJcOSmVDkda8iTpOUypO25QO/c0oH4qT1KDpNSJSKE/dyzF0cHr+QybqhQatDIwFLBaN0K2GxJWl/6ZGwnLp314+E7rYi4TPsg+YOa/Lzs1pzZaCYS4GyKtWfrD4YEGHj1M2Gg23dtjBkNk3nNkfN6pXeKq30e/t/1NZf4q2vu+CqJR6vu9uySxzs/B4PaSJi6P3e/ocdRLIu2kHAzPvvPqCd9dmxr8jOTSzet54qp0zVJWhxvu6Lr4UJt5yigGJokEUBoiCcBP1AE+LTCMDY23/4Ldafsgj5jKIOZaL4RxJ2grzJjuJwB2WwpCpGax82INS98i1e9cmbsz2ajLVpWsFSxX3NwTJE5dPJuTXtsledlTBV3sesfRtTk1c3cjugV963mJuA8+KegWNcJzgv7wc4WP8c4Hx/z8DZWFaLF83hJIijhWToQCVDL+BhiHhCxBTILaZGZwzMeudYtfbeYNXelz/gCyp/WDCEN7g6ixrkbhQkTC1fmBpUXuNclFCVbrZtc37dXzoTv9J6cnE0Lh4qCdRuZJAbhu383aGeXx2qyDM2uo3afgpXCb9/5+AvhI9xjn/NuNMM0DvHQG1JAZtdyN4yArp3joBCArWpBizrdjOwO//fo/IfpvP/GH/2P1BLBwj3i9pEKgcAAGMuAABQSwECFAAUAAgACADinLk894vaRCoHAABjLgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAGQHAAAAAA==" 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	===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====		===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
	::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]		::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

Schnirch: /* Definition II.3: (Länge einer Strecke) */

2010-06-08T14:40:02Z

Definition II.3: (Länge einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2010, 14:40 Uhr
Zeile 108:		Zeile 108:
	:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)		:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)

	===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
	::Auch das können Sie selbst.		::Auch das können Sie selbst.
	:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)		:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

Schnirch: /* Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

2010-06-08T14:39:50Z

Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2010, 14:39 Uhr
Zeile 104:		Zeile 104:

	= Der Begriff der Strecke=		= Der Begriff der Strecke=
	===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====		===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
	::Das können Sie selbst.		::Das können Sie selbst.
	:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)		:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)

Schnirch: /* Definition II.1: (Zwischenrelation) */

2010-06-08T14:39:06Z

Definition II.1: (Zwischenrelation)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2010, 14:39 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	=== Definitionen und Sätze ===		=== Definitionen und Sätze ===

	===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====		===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
	::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.		::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

Sternchen: /* Definition II.3: (Länge einer Strecke) */

2010-06-04T17:58:40Z

Definition II.3: (Länge einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 17:58 Uhr
Zeile 110:		Zeile 110:
	===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====
	::Auch das können Sie selbst.		::Auch das können Sie selbst.
			:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

	= Halbgeraden bzw. Strahlen =		= Halbgeraden bzw. Strahlen =

Sternchen: /* Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

2010-06-04T17:54:34Z

Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 17:54 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:
	===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====		===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
	::Das können Sie selbst.		::Das können Sie selbst.
			:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)

	===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====

Maude001: /* Beweis von Satz II.2 */

2010-06-04T15:37:48Z

Beweis von Satz II.2

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 15:37 Uhr
Zeile 91:		Zeile 91:
	===== Beweis von Satz II.2 =====		===== Beweis von Satz II.2 =====
	:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)		:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

			<math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math> gilt.

			Dass <math> A, B, C </math> kollinear sind, folgt damit aus Axiom II.3.
			--[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 15:37, 4. Jun. 2010 (UTC)

	===== Satz II.3 =====		===== Satz II.3 =====