Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T12:04:50Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 12:04 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	# Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>.		# Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>.
	Beweis: Übungsaufgabe		Beweis: Übungsaufgabe
			=Vervielfachen einer Pfeilklasse mit einer reellen Zahl in der Ebene=
			'''Definition''': (Koordinatenkreuz)
			::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Geraden mit <math>a \perp b</math> und dem gemeinsamen Schnittpunkt <math>O</math>. Das geordnete Tripel <math>(a,b,O)</math> heißt Koordinatenkreuz mit dem Ursprung <math>O</math>.<br /><br />

			Für die folgenden Überlegungen sei ein Koordinatenkreuz <math>(a,b,O)</math> beliebig aber fest ausgezeichnet.
			'''Definition''': (Komponenten einer Pfeilklasse <math>\overrightarrow{a}</math>)
			::Es sei <math>\overrightarrow{a}</math> eine Pfeilklasse mit dem Repräsentanten <math>\overrightarrow{OP}</math>. Es sei


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m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T11:48:11Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:48 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:
	# Inverse Elemente: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} \exists -\overrightarrow{a}: \overrightarrow{a} \oplus -\overrightarrow{a} = \overrightarrow{o} </math>		# Inverse Elemente: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} \exists -\overrightarrow{a}: \overrightarrow{a} \oplus -\overrightarrow{a} = \overrightarrow{o} </math>
	# Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>.		# Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>.
			Beweis: Übungsaufgabe

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m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T11:45:51Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:45 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math>		# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math>
	# Neutrales Element: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}</math>		# Neutrales Element: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}</math>
			# Inverse Elemente: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} \exists -\overrightarrow{a}: \overrightarrow{a} \oplus -\overrightarrow{a} = \overrightarrow{o} </math>
			# Kommutativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}</math>.

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m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T11:41:36Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:41 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	=Die Gruppe der Pfeilklassen=		=Die Gruppe der Pfeilklassen=
	'''Satz:''': (Gruppe der Pfeilklassen)		'''Satz:''': (Gruppe der Pfeilklassen)
	::Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine abelsche Gruppe.<br />		:Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine abelsche Gruppe:<br />
	~~::D.h.:<br />~~
	# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math>		# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math>
	# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math>		# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math>

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T11:40:53Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:40 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	=Die Gruppe der Pfeilklassen=		=Die Gruppe der Pfeilklassen=
	'''Satz:''': (Gruppe der Pfeilklassen)		'''Satz:''': (Gruppe der Pfeilklassen)
	::Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine Gruppe.<br />		::Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine abelsche Gruppe.<br />
	::D.h.:<br />		::D.h.:<br />
	# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math>		# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math>
			# Assoziativität: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})</math>
			# Neutrales Element: <math>\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}</math>

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m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

2017-06-04T11:35:29Z

Die Gruppe der Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:35 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	::<math>\overrightarrow{o}</math> ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind.		::<math>\overrightarrow{o}</math> ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind.
	=Die Gruppe der Pfeilklassen=		=Die Gruppe der Pfeilklassen=
	~~Es sei~~		'''Satz:''': (Gruppe der Pfeilklassen)
			::Die Struktur <math>\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]</math> ist eine Gruppe.<br />
			::D.h.:<br />
			# Abgeschlossenheit: <math>\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}</math>



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m.g.: /* Pfeilklassen */

2017-06-04T11:29:16Z

Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:29 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	'''Satz''': (Pfeilgleichheit ist ÄR)		'''Satz''': (Pfeilgleichheit ist ÄR)
	::Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.<br />		::Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.<br />
	'''Beweis''': Übungsaufgabe		'''Beweis''': Übungsaufgabe<br />

	'''Definition''': (Pfeilklasse)		'''Definition''': (Pfeilklasse)
	::Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.<br />		::Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.<br />
			::Die Menge alle Pfeilklassen bezeichnen wir mit <math>\overrightarrow{\mathbb{P}}</math><br />

	Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit <math>\overrightarrow{AB}</math> den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: <math>a</math> meint einen bestimmten Pfeil und <math>\overrightarrow{a}</math> bezeichnet die Pfeilklasse, die durch <math>a</math> eindeutig bestimmt ist.		Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit <math>\overrightarrow{AB}</math> den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: <math>a</math> meint einen bestimmten Pfeil und <math>\overrightarrow{a}</math> bezeichnet die Pfeilklasse, die durch <math>a</math> eindeutig bestimmt ist.

	=Addition von Pfeilklassen=		=Addition von Pfeilklassen=
	'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)		'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)

m.g.: /* Addition von Pfeilklassen */

2017-06-04T11:26:35Z

Addition von Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:26 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	=Addition von Pfeilklassen=		=Addition von Pfeilklassen=
	'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)		'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)
	::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>. <math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.<br />		::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>.<br />
			::<math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.<br />

	'''Satz''': (Wohldefiniertheit der Operation <math>\oplus</math>		'''Satz''': (Wohldefiniertheit der Operation <math>\oplus</math>
	::Die Operation <math>\oplus </math> auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.<br />		::Die Operation <math>\oplus </math> auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.<br />
	Beweis : ÜA		Beweis : ÜA

	=Die Pfeilklasse <math>\overrightarrow{o}</math>=		=Die Pfeilklasse <math>\overrightarrow{o}</math>=
	'''Definition''': (<math>\overrightarrow{o}</math>)		'''Definition''': (<math>\overrightarrow{o}</math>)

m.g.: /* Addition von Pfeilklassen */

2017-06-04T11:24:27Z

Addition von Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:24 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	=Addition von Pfeilklassen=		=Addition von Pfeilklassen=
	'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)		'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)
	::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>. <math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.		::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>. <math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.<br />

			'''Satz''': (Wohldefiniertheit der Operation <math>\oplus</math>
			::Die Operation <math>\oplus </math> auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.<br />
			Beweis : ÜA
			=Die Pfeilklasse <math>\overrightarrow{o}</math>=
			'''Definition''': (<math>\overrightarrow{o}</math>)
			::<math>\overrightarrow{o}</math> ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind.
			=Die Gruppe der Pfeilklassen=
			Es sei

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m.g.: /* Pfeilklassen */

2017-06-04T11:15:42Z

Pfeilklassen

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2017, 11:15 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	::Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.<br />		::Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.<br />
	Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit <math>\overrightarrow{AB}</math> den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: <math>a</math> meint einen bestimmten Pfeil und <math>\overrightarrow{a}</math> bezeichnet die Pfeilklasse, die durch <math>a</math> eindeutig bestimmt ist.		Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit <math>\overrightarrow{AB}</math> den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: <math>a</math> meint einen bestimmten Pfeil und <math>\overrightarrow{a}</math> bezeichnet die Pfeilklasse, die durch <math>a</math> eindeutig bestimmt ist.
			=Addition von Pfeilklassen=
			'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)
			::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>. <math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.

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Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017 - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Addition von Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Addition von Pfeilklassen */

*m.g.*: /* Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Die Gruppe der Pfeilklassen */

m.g.: /* Pfeilklassen */

m.g.: /* Addition von Pfeilklassen */

m.g.: /* Addition von Pfeilklassen */

m.g.: /* Pfeilklassen */