Strecken und Halbgeraden SoSe 2017 - Versionsgeschichte

Kleine rock goere: /* Beweis von Satz II.1 */

2017-06-08T14:15:00Z

Beweis von Satz II.1

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2017, 14:15 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)		:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

			:Beweis auch mit Axiom II. 2, da
			zu zeigen: ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)
			:(1)ZW(A,B,C): \|AB\| + \|BC\| = \|AC\| und
			:(2) ZW(C,B,A): \|CB\| + \|BA\| = \|CA\|
			:(1)(2) (Axiom II.2: \|AB\| = \|BA\|) \|CA\| = \|AC\| und somit auch ZW(A,B,C) = ZW(C,B,A)

	===== Satz II.2: =====		===== Satz II.2: =====

Kleine rock goere: /* Beweis von */

2017-06-08T13:43:47Z

Beweis von

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2017, 13:43 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	=====Beweis von =====		=====Beweis von =====
	'''Existenz:'''<br />		'''Existenz:'''<br />
	: Voraussetzung: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)		: Voraussetzung 1: A ≠ B ≠ C ≠ A (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)
	: Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.		: Zu zeigen: Es existiert wenigstens ein Punkt, der zwischen den anderen beiden liegt.
	: Beweis: wegen koll(A,B,C9 greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:		: Beweis: wegen koll(A,B,C) greift Axiom II. 3, Teil 2. Es gilt also wenigstens eine der Gleichungen:

	: \|AB\| + \|BC\| = \|AC\| (also ZW(A,B,C)) oder		: \|AB\| + \|BC\| = \|AC\| (also ZW(A,B,C)) oder
Zeile 106:		Zeile 106:

	'''Eindeutigkeit:'''		'''Eindeutigkeit:'''
			: Voraussetzung 2: koll (A,B,C)
			: Zu zeigen: Nicht zwei der Punkte können gleichzeitig zwischen den anderen beiden liegen. "Es kann nur einen geben!"
			: Annahme: Zw(B,A,C) und Zw(A,C,B) gelten gleichzeitig
			: (1) Zw(B,A,C): \|BA\| + \|AC\| = \|BC\|
			: (2) Zw(A,C,B): \|AC\| + \|CB\| = \|AB\|
			: (3) \|BC\| = \|AB\| - \|AC\|
			: (1)(2) \|BA\| + \|AC\| = \|AB\| - \|AC\|
			: 2 · \|AC\| = 0
			: \|AC\| = 0
			: (nach II. 1) A = C
			: † Widerspruch zu Voraussetzung 1

			(weitere Info: \cdot , \newline , \quad und \neq funktionieren auch nicht, gibt es da andere Alternativ-Codes?)


	~~<math>~~\~~overline{AB}</math>~~

	= Der Begriff der Strecke=		= Der Begriff der Strecke=

Kleine rock goere: /* Beweis von */

2017-06-08T13:28:04Z

Beweis von

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 =====Beweis von =====
 '''Existenz:'''<br />
-'''Eindeutigkeit'''
+: Voraussetzung: A ≠ B ≠ C ≠ A  (Info: \not\equiv funktioniert nicht, es soll also heißen A nicht äquivalent B usw.)
 = Der Begriff der Strecke=

Kleine rock goere: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

2017-06-08T12:57:56Z

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2017, 12:57 Uhr
Zeile 100:		Zeile 100:
	= Der Begriff der Strecke=		= Der Begriff der Strecke=
	===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====		===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
	::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (~~ergänzen Sie~~)~~...~~		::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math> A </math> und <math> B </math> heißen die Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
			Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man folgende Punktmenge:

			<math>\overline{AB} </math> := {P\|Zw (A,P,B)} U {A,B}

	===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====

Kleine rock goere: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

2017-06-08T12:52:38Z

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juni 2017, 12:52 Uhr
Zeile 103:		Zeile 103:

	===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
	::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. ..~~. (ergänzen Sie)....~~		::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. A und B heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.
			\|<math>\overline{AB}</math>\|:= \|AB\|

	= Halbgeraden bzw. Strahlen =		= Halbgeraden bzw. Strahlen =

m.g.: /* Übung zum Axiom */

2017-05-28T13:28:40Z

Übung zum Axiom

← Nächstältere Version		Version vom 28. Mai 2017, 13:28 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	::::<math>\| BA \| + \| AC \| = \| BC \| </math><br />		::::<math>\| BA \| + \| AC \| = \| BC \| </math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

	~~=====Übung zum Axiom=====~~
	~~:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?~~
	<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAJd6uDwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5Vltc5tGEP7c/IobPnTaSYM53mmlZATOB884SWfsZjpNMp0TnKWrEShwOHLi/vfu3SEEQraR3bSuqy/AsuztPs++HGj0YrVI0QUtSpZnYw3rhoZoFucJy2ZjreJnz3ztxfMnoxnNZ3RaEHSWFwvCx5qlm5qQV+z5k29G5Tz/hEgqVd4y+mmsnZG0pBoqlwUlSTmnlHfkpFqxlJHi8s30DxrzcnNDGTnKlhWswosKZPEiOWbl+vJALrhMGT9kFyyhBUrzeKx5tqeJs7e04Cwm6VizDUNKzLFmOkbnJogscXeeF+xznnGhvjF+BhKESvaZwpOGkI0OZKAjWsUpSxjJRDDSD1BC6BNL+BzQM31hk7LZHJz1bVOZi/O8SE4uS04XaPUbLXLQxK5A+rK+cnxxVYJjsKJjyFvtK2mGXpxQzoGXEpEV3SA2K1jSuTgqwzzdiJY5y3hElrwqJKlWLTrhl2IBWKsQDk+yWUprmQmYz2l8Ps1XJxIFbCnTp5dL+Yh0aDqL8jQvUCHwdUChPk7VUeoITxstQ+oYUqO2IYw293FgSg15nKqj1EpZplyrI8frqLGxXoaVSAgEjJCLTfApmVLgVkNVxvjx+gJy4LwOFasHXleLKRRBOwsam/jvsjk62Mqf0TktMpqqJMmA2yqvSnQhslGtJR1JaMwWcKlu1JAQQdcv4ICSJnRW0LXjqoQUYPKu0U7ELfHoYO2E8KEEX2MOvQDi4SIWUaocymSsLfSZrqGEcCEVtZDSBYVC4TInZEo12Ex+x1rTF3JZ4tvwtQIEhZ05IrOJpMs5Acm6DFJyCSXfDksafJUn3WBJBqDJSKDwlsKAoGVJqWKU15mMlmBQ1kXLIQlUiVZj7RnWHReqEc4c3fI19Fk1Sammykh0ALmwVXOscLkFofCxIIQt3TIbhOz9EIrzxYJkCcrIAtY6oTMhl7gwMQAQMVQuIYIVZAqNiq9vEmWxttPDvKwtriElWred8DlUbUbLUvY83u5uHWLUHBrOi3F3Vlq5B8/CDGv/LJWL2NZ9lYteoAf9LnlDWPRjpnRK1avYAiZpzHiDbCq4Pso4dC4qO0G/IZ1TuhST4E12WpCsFFsCpdNqdNdQ/LMsgi7BpMdqdDOr3UqK+nXUoWvT0dtsYVNNLHl8GJXk6b4X+J5vmNh2se9aTVU5tmtagW/52DI927lPjQ0jYLIPAZPHQoChB4aBbcvBputagW37DQOeZfmuhw3gxxbEfG0Cwn0ICB8LAY4OPc4ODNN0HRv7gd3gD/nv2qZnOb7tuPcaMofwJkGymG5PmXrG9CfMVOgnk1sYyaoFLVi8mTTNY8IeOFbV7tk6Fn0cO6YfOI5pDh8k+E6BhSqw6LrAwlua7TWBhdF2YKZoX9ClcOA72LUd3/naoU1uCW1yt9AmvdBcPfACzwk86L4edr3gHpHd7MLE2l7b0XdtSLo7xd0FfqNLA0ob37+0m9f86/cHN+MR9vDw/td4RD08sPnYAVktC9jKCvvrIoFNLUjH2rcfq5z/dDUJr9SZfLQLIKer1k7FvO2daz+g9hqSN8cUbsUURgNjCh9uTNE2T0Njih5KTN0x9Ipl2xPI+jGy+rtnd7+5A/rXNf09yvVOpRS6HYqeDsw594HwsyPn1gG9Iqt3kp4P6BkChFE/pl5z7fHg/VM8HHZ5GA/j4fDh8vByHdDERU9RNAj/lz38N8PtaxNwCrjCZr1NwvuUnvEr9EVdQRTfvYY28G7y4fvmPJTnSuFP9F5+SL9CaIze/4CaxzavAjsw6PBZO/Fvfn5i5TE5pb92oQNMp2WeVpyexAWl2XEeq4EvPwC6WH2UUt+hBsAc7QtztBPm3ShHw1C+7avRw0NZfQ4yrQHFJyIMB6Ec3g3lcBjK4X8PZfXJwXSDbZQP2v+OyH8E679En/8FUEsHCPM2QCGgBQAARB0AAFBLAQIUABQACAAIAJd6uDzzNkAhoAUAAEQdAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA2gUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

	=== Definitionen und Sätze ===		=== Definitionen und Sätze ===

m.g.: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

2017-05-28T13:28:07Z

Das Axiom der Dreiecksungleichung

← Nächstältere Version		Version vom 28. Mai 2017, 13:28 Uhr
Zeile 55:		Zeile 55:

	=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===		=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
			<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
	===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====		===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
	::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>\|AB \|+ \| BC \| \geq \| AC \|.</math>		::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>\|AB \|+ \| BC \| \geq \| AC \|.</math>

m.g.: /* Der Abstand zweier Punkte */

2017-05-28T13:00:21Z

Der Abstand zweier Punkte

← Nächstältere Version		Version vom 28. Mai 2017, 13:00 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =
	=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===		=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===
	~~{{#ev:youtube\|yrfOzfpPVZE}}~~


	===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====		===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
			<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
	:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.		:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

m.g.: /* Axiom II.2: */

2017-05-28T12:58:52Z

Axiom II.2:

← Nächstältere Version		Version vom 28. Mai 2017, 12:58 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:

	===== Axiom II.2: =====		===== Axiom II.2: =====
			<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
	:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>\|AB\| = \|BA\|</math>.		:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>\|AB\| = \|BA\|</math>.

m.g.: /* Der Abstand zweier Punkte */

2017-05-28T12:51:06Z

Der Abstand zweier Punkte

← Nächstältere Version		Version vom 28. Mai 2017, 12:51 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	= Der Abstand zweier Punkte =		= Der Abstand zweier Punkte =
	=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===		=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===
			{{#ev:youtube\|yrfOzfpPVZE}}

Strecken und Halbgeraden SoSe 2017 - Versionsgeschichte

Kleine rock goere: /* Beweis von Satz II.1 */

Kleine rock goere: /* Beweis von */

Kleine rock goere: /* Beweis von */

Kleine rock goere: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

Kleine rock goere: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

*m.g.*: /* Übung zum Axiom */

*m.g.*: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

*m.g.*: /* Der Abstand zweier Punkte */

*m.g.*: /* Axiom II.2: */

*m.g.*: /* Der Abstand zweier Punkte */

m.g.: /* Übung zum Axiom */

m.g.: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

m.g.: /* Der Abstand zweier Punkte */

m.g.: /* Axiom II.2: */

m.g.: /* Der Abstand zweier Punkte */