Strecken und Halbgeraden SoSe 2018 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

2018-05-21T10:21:44Z

Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:21 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	::<math>\text{Falls }\operatorname{koll}(ABC)\text{, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:}</math>		::<math>\text{Falls }\operatorname{koll}(ABC)\text{, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:}</math>

	<math>		::<math>
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	&& (1) & \vert AB \vert & + & \vert BC \vert & = & \vert AC \vert \\		&& (1) & \vert AB \vert & + & \vert BC \vert & = & \vert AC \vert \\
Zeile 65:		Zeile 65:
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math><br />		</math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind ~~<math>~~ A~~</math>~~, ~~<math>~~B~~</math>~~ und ~~<math>~~C</math> ~~kollinear.~~		::<math>\text{Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind } A, B \text{ und }C\text{ kollinear.}</math>

	=== Definitionen und Sätze ===		=== Definitionen und Sätze ===

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

2018-05-21T10:19:07Z

Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:19 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	::<math>\text{Für drei beliebige Punkte } A, B \text{ und } C \text{gilt: } \vert AB \vert + \vert BC \vert \geq \vert AC \vert.</math>		::<math>\text{Für drei beliebige Punkte } A, B \text{ und } C \text{gilt: } \vert AB \vert + \vert BC \vert \geq \vert AC \vert.</math>

	::~~Falls~~ <math>\operatorname{koll}(ABC)~~</math>~~, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::<math>\text{Falls }\operatorname{koll}(ABC)\text{, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:}</math>

	<math>		<math>

m.g.: /* Strecken, intuitiv */

2018-05-21T10:16:43Z

Strecken, intuitiv

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:16 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.		Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

	~~{{#ev:youtube\|cmDchklNwBs}}~~

	= Längenmessung =		= Längenmessung =

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

2018-05-21T10:16:17Z

Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:16 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:

	===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====		===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
	::Für drei beliebige Punkte ~~<math>~~A, B~~</math>~~ und ~~<math>~~C~~</math>~~ gilt: ~~<math>\|~~AB \|+ \| BC \| \geq \| AC \|.</math>		::<math>\text{Für drei beliebige Punkte } A, B \text{ und } C \text{gilt: } \vert AB \vert + \vert BC \vert \geq \vert AC \vert.</math>

	::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

2018-05-21T10:11:24Z

Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:11 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:		::Falls <math>\operatorname{koll}(ABC)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

	~~::::~~<math>\| AB \| + \| BC \| = \| AC ~~\| </math>~~		<math>
	~~::::<math>\|~~ AC \| + \| CB \| = \| AB ~~\| </math>~~		\begin{matrix}
	~~::::<math>\|~~ BA \| + \| AC \| = \| BC \| </math><br />		&& (1) & \vert AB \vert & + & \vert BC \vert & = & \vert AC \vert \\
			&& (2) & \vert AC \vert & + & \vert CB \vert & = & \vert AB \vert \\
			&& (3) & \vert BA \vert & + & \vert AC \vert & = & \vert BC \vert \\
			\end{matrix}
			</math><br />
	::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.		::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math> A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> kollinear.

m.g.: /* Axiom II.2: */

2018-05-21T10:06:52Z

Axiom II.2:

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:06 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:

	===== Axiom II.2: =====		===== Axiom II.2: =====
	~~<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/VJXxjG2MILU" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>~~
	:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>\|AB\| = \|BA\|</math>.		:Für zwei beliebige Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gilt <math>\|AB\| = \|BA\|</math>.

m.g.: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

2018-05-21T10:03:59Z

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:03 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:

	===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====		===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
	~~<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/yrfOzfpPVZE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>~~
	:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.		:Zu je zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>d</math> mit <math>d=0:\Leftrightarrow A=B</math>.

m.g.: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

2018-05-21T10:03:21Z

Das Axiom der Dreiecksungleichung

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:03 Uhr
Zeile 55:		Zeile 55:

	=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===		=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
	~~<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/NC7z0jt-jUw" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>~~
	===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====		===== Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) =====
	::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>\|AB \|+ \| BC \| \geq \| AC \|.</math>		::Für drei beliebige Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> gilt: <math>\|AB \|+ \| BC \| \geq \| AC \|.</math>

m.g.: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

2018-05-21T10:02:33Z

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:02 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:

	===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====		===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
	::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math>A</math> und <math>B</math> heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge <math>\vert \overline{AB} \vert</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.		::Es seien <math> A</math> und <math> B</math> zwei verschiedene Punkte. <math>A</math> und <math>B</math> heißen die Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Unter der Länge <math>\vert \overline{AB} \vert</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man den Abstand ihrer Endpunkte. <math>\vert \overline{AB} \vert</math>:= <math>\vert AB \vert</math>
	<math>\vert \overline{AB} \vert</math>:= <math>\vert AB \vert</math>

	= Halbgeraden bzw. Strahlen =		= Halbgeraden bzw. Strahlen =

m.g.: /* Beweis von Satz II.4 */

2018-05-21T10:01:32Z

Beweis von Satz II.4

← Nächstältere Version		Version vom 21. Mai 2018, 10:01 Uhr
Zeile 129:		Zeile 129:

	===== Beweis von Satz II.4 =====		===== Beweis von Satz II.4 =====
	Sie müssen Folgendes zeigen:<br />		Sie müssen insbesondere Folgendes zeigen:<br />

	<math>		<math>
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	&& (1) & OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} = \emptyset \\		&& (1) & OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cap \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} & = & \emptyset \\
	&& (2) &OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}=g		&& (2) &OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \cup \left\{ O \right\} \cup \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} &=& g
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>

Strecken und Halbgeraden SoSe 2018 - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Strecken, intuitiv */

*m.g.*: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

*m.g.*: /* Axiom II.2: */

*m.g.*: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

*m.g.*: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

*m.g.*: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

*m.g.*: /* Beweis von Satz II.4 */

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Strecken, intuitiv */

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II.3: (Dreiecksungleichung) */

m.g.: /* Axiom II.2: */

m.g.: /* Axiom II.1: (Abstandsaxiom) */

m.g.: /* Das Axiom der Dreiecksungleichung */

m.g.: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

m.g.: /* Beweis von Satz II.4 */