Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal - Versionsgeschichte

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

2010-06-21T19:02:11Z

Der Existenzbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 19:02 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>
	\| INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch):		\| INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch):
	somit gilt die Annahme: <math>\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right) ~~gilt~~</math><br />		somit gilt die Annahme: <math>\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math><br /><br />
	<math>\left\| AB \right\|+ \left\| BM \right\| = \left\| AM \right\|</math><br /><br />		<math>\left\| AB \right\|+ \left\| BM \right\| = \left\| AM \right\|</math><br /><br />
	Da <math>\left\| AB \right\| = d</math> und <math>\left\| BM \right\| = x</math> kann <math>\left\| AM \right\| </math>niemals <math>\frac{d}{2} </math>sein,<br />da <math>d>\frac{d}{2} </math>, also <math>\left\| AB \right\|>\left\| AM \right\|</math>, ist und somit ein Widerspruch vorliegt.<br />Es stimmt also, dass <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		Da <math>\left\| AB \right\| = d</math> und <math>\left\| BM \right\| = x</math> kann <math>\left\| AM \right\| </math>niemals <math>\frac{d}{2} </math>sein,<br />da <math>d>\frac{d}{2} </math>, also <math>\left\| AB \right\|>\left\| AM \right\|</math>, ist und somit ein Widerspruch vorliegt.<br />Es stimmt also, dass <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

2010-06-21T19:01:24Z

Der Existenzbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 19:01 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>
	\| INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch):		\| INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch):
	Annahme: <math>\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right) gilt</math><br />		somit gilt die Annahme: <math>\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right) gilt</math><br />
	<math>\left\| AB \right\|+ \left\| BM \right\| = \left\| AM \right\|</math><br /><br />		<math>\left\| AB \right\|+ \left\| BM \right\| = \left\| AM \right\|</math><br /><br />
	Da <math>\left\| AB \right\| = d</math> und <math>\left\| BM \right\| = x</math> kann <math>\left\| AM \right\| </math>niemals <math>\frac{d}{2} </math>sein,<br />da <math>d>\frac{d}{2} </math>, also <math>\left\| AB \right\|>\left\| AM \right\|</math>, ist und somit ein Widerspruch vorliegt.<br />Es stimmt also, dass <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		Da <math>\left\| AB \right\| = d</math> und <math>\left\| BM \right\| = x</math> kann <math>\left\| AM \right\| </math>niemals <math>\frac{d}{2} </math>sein,<br />da <math>d>\frac{d}{2} </math>, also <math>\left\| AB \right\|>\left\| AM \right\|</math>, ist und somit ein Widerspruch vorliegt.<br />Es stimmt also, dass <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

2010-06-21T19:00:06Z

Der Existenzbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 19:00 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>
	\| ~~noch zu zeigen~~ durch ~~indirekten Beweis~~		\| INDIREKTER BEWEIS (Beweis durch Widerspruch):
			Annahme: <math>\operatorname{Zw} \left( A, B, M \right) gilt</math><br />
			<math>\left\| AB \right\|+ \left\| BM \right\| = \left\| AM \right\|</math><br /><br />
			Da <math>\left\| AB \right\| = d</math> und <math>\left\| BM \right\| = x</math> kann <math>\left\| AM \right\| </math>niemals <math>\frac{d}{2} </math>sein,<br />da <math>d>\frac{d}{2} </math>, also <math>\left\| AB \right\|>\left\| AM \right\|</math>, ist und somit ein Widerspruch vorliegt.<br />Es stimmt also, dass <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

2010-06-21T18:32:23Z

Der Existenzbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 18:32 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| <math>\exists d^{} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{} = \frac{d}{2}</math>		\| <math>\exists d^{} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{} = \frac{d}{2}</math>
	\| Rechnen in <math>\ R</math>		\| Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen <math>\ R</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
Zeile 84:		Zeile 84:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>		\| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
	\| ~~Begründung von (V)~~		\| Wegen IV und der Definition der Zwischenrelation
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
	\| <math>\ \left\| AM \right\| + \left\| MB \right\| = \frac{\left\| AB \right\|}{2} + \left\| MB \right\| = \left\| AB \right\|</math>		\| <math>\ \left\| AM \right\| + \left\| MB \right\| = \frac{\left\| AB \right\|}{2} + \left\| MB \right\| = \left\| AB \right\|</math>
	\| ~~Begründung von~~ (VI)		\| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left\| AM \right\| + \left\| MB \right\| = \left\| AB \right\|</math><br /> Wegen II und III (<math>\ \left\| AM \right\|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left\| AB \right\|}{2}</math>)<br />
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
	\| <math>\left\| MB \right\| = \frac{\left\| AB \right\|}{2}</math>		\| <math>\left\| MB \right\| = \frac{\left\| AB \right\|}{2}</math>
	\| ~~Begründung von (VII)~~		\| Wegen VI, Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen <math>\ R</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
	\| <math>\left\| AM \right\| = \left\| MB \right\|</math>		\| <math>\left\| AM \right\| = \left\| MB \right\|</math>
	\| ~~Begründung von (VIII)~~		\| Wegen VI und VII, Rechnen im Zahlenraum der reellen Zahlen <math>\ R</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
	\| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>		\| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
	\| ~~Begründung von (IX)~~		\| Nach Definition Mittelpunkt
	\|}		\|}

Air-gate: /* Der Existenzbeweis */

2010-06-04T09:26:08Z

Der Existenzbeweis

Air-gate: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

2010-06-04T08:56:23Z

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 08:56 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====		===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
	::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ...		::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

2010-06-03T22:07:32Z

Der Eindeutigkeitsbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2010, 22:07 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:
	Übungsaufgabe<br />		Übungsaufgabe<br />
	:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.		:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.

			[[Lösung_von_Aufgabe_7.10]]

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

2010-05-31T16:54:41Z

Der Eindeutigkeitsbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2010, 16:54 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:
	====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======		====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
	Übungsaufgabe<br />		Übungsaufgabe<br />
	:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>		:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

2010-05-31T16:54:27Z

Der Eindeutigkeitsbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2010, 16:54 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:
	====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======		====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
	Übungsaufgabe<br />		Übungsaufgabe<br />
	:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> ~~hat~~ zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>		:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

2010-05-31T16:54:00Z

Der Eindeutigkeitsbeweis

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2010, 16:54 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:
	====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======		====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
	Übungsaufgabe<br />		Übungsaufgabe<br />
	:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hat zwei Mittelpunkte <math>M_1</math> und <math>M_2</math>		:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hat zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 09:26 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left\| AB \right\|</math>		\| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left\| AB \right\|</math>
	\| ~~Begründung von~~ (I)		\| Axiom II.1 (Abstand vom Abstand)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| <math>\exists d^{} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{} = \frac{d}{2}</math>		\| <math>\exists d^{} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{} = \frac{d}{2}</math>
	\| ~~Begründung von (II)~~		\| Rechnen in <math>\ R</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left\| AM \right\| = d^{*}</math>		\| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left\| AM \right\| = d^{*}</math>
	\| ~~Begründung von (III)~~		\| Axiom vom Lineal
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>		\| <math>\neg \operatorname{Zw} \left( A, B, M \right)</math>
	\| ~~Begründung von (IV)~~		\| noch zu zeigen durch indirekten Beweis
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)

Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal - Versionsgeschichte

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

TimoRR: /* Der Existenzbeweis */

Air-gate: /* Der Existenzbeweis */

Air-gate: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

*m.g.*: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

*m.g.*: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

*m.g.*: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

*m.g.*: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */

m.g.: /* Der Eindeutigkeitsbeweis */