Untergruppen, Untergruppenkriterien - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Zeigen, dass e \in U */

2018-07-14T12:30:00Z

Zeigen, dass e \in U

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2018, 12:30 Uhr
Zeile 180:		Zeile 180:
	=====Zeigen, dass <math>e \in U</math>=====		=====Zeigen, dass <math>e \in U</math>=====
	<math>\text{(*)}</math> sagt aus, dass mit <math>a</math> und <math>b</math> aus der Teilmenge <math>U</math> auch das Produkt <math>a \circ b^{-1}</math> ein Element von <math>U</math> ist.<br />		<math>\text{(*)}</math> sagt aus, dass mit <math>a</math> und <math>b</math> aus der Teilmenge <math>U</math> auch das Produkt <math>a \circ b^{-1}</math> ein Element von <math>U</math> ist.<br />
	Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.		Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a^{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.

	=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====		=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====
	Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <br />		Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <br />

m.g.: /* Zeigen, dass die Verknüpfung \circ abgeschlossen auf U ist */

2018-06-05T08:57:39Z

Zeigen, dass die Verknüpfung \circ abgeschlossen auf U ist

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:57 Uhr
Zeile 186:		Zeile 186:

	=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====		=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====
			Wir haben gerade gezeigt, dass mit <math>b \in U</math> auch <math>b^{-1} \in U</math> gilt.<br />
			Mit <math>a \in U</math> und <math>b^{-1} \in U</math> gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>a \circ \left ( b^{-1} \right ) ^{-1} \in U</math>.<br />
			Nach einem Hilfssatz aus der Vorlesung gilt: <math>\left ( b^{-1} \right ) ^{-1} = b</math> und damit <math>a \circ b \in U</math>, womit <math>\text{(I)}</math> bewiesen wurde.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Zeigen, dass mit b auch b^{-1} zu U gehört */

2018-06-05T08:50:52Z

Zeigen, dass mit b auch b^{-1} zu U gehört

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:50 Uhr
Zeile 182:		Zeile 182:
	Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.		Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.
	=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====		=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====
	Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <math>\text{(II)}</math> ist damit bewiesen.		Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <br />
			<math>\text{(II)}</math> ist damit bewiesen.

	=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====		=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g.: /* Behauptungen */

2018-06-05T08:50:31Z

Behauptungen

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:50 Uhr
Zeile 177:		Zeile 177:
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>
			====Beweis====
			=====Zeigen, dass <math>e \in U</math>=====
			<math>\text{(*)}</math> sagt aus, dass mit <math>a</math> und <math>b</math> aus der Teilmenge <math>U</math> auch das Produkt <math>a \circ b^{-1}</math> ein Element von <math>U</math> ist.<br />
			Setzen <math>b=a</math>, womit nach <math>\text{(*)}~ a\circ a^{-1} \in U</math> gilt. Wegen <math>a \circ a{-1} =e</math> ist das Einselement <math>e</math> ein Element der Teilmenge <math>U</math>.
			=====Zeigen, dass mit <math>b</math> auch <math>b^{-1}</math> zu <math>U</math> gehört=====
			Wegen <math>e \in U</math> (gerade gezeigt) und <math>b \in U</math> (Voraussetzung) gilt nach <math>\text{(*)}</math> <math>e \circ b^{-1} = b^{-1} \in U</math>. <math>\text{(II)}</math> ist damit bewiesen.
			=====Zeigen, dass die Verknüpfung <math>\circ</math> abgeschlossen auf <math>U</math> ist=====
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

2018-06-05T08:39:00Z

Satz (Untergruppenkriterium 2)

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:39 Uhr
Zeile 160:		Zeile 160:
	::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G. ~</math> <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:		::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G. ~</math> <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:
	:::<math>		:::<math>
			\forall a,b \in U : a \circ b^{-1}\in U </math>
	\forall a,b \in U : a \circ b^{-1}\in U
	==Beweis von UGK 2==		==Beweis von UGK 2==
	Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />		Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />
Zeile 178:		Zeile 177:
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>
	~~</math>~~
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* \leftarrow */

2018-06-05T08:37:48Z

\leftarrow

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:37 Uhr
Zeile 168:		Zeile 168:

	===<math>\leftarrow</math>===		===<math>\leftarrow</math>===
	Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \~~subset~~ G</math>		Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \subseteq G</math>.
			====Voraussetzung====
			<math>\text{(*)}~\forall a, b \in U: a\circ b^{-1}\in U</math>.
			====Behauptungen====
			<math>
			\begin{matrix}
			\text{(I)} & \forall a, b \in U: & a \circ b \in U \\
			\text{(II)} & \forall b \in U: & b^{-1} \in U
			\end{matrix}
			</math>
	</math>		</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g.: /* \rightarrow000 */

2018-06-05T08:31:27Z

\rightarrow000

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:31 Uhr
Zeile 164:		Zeile 164:
	==Beweis von UGK 2==		==Beweis von UGK 2==
	Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />		Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />
	===<math>\rightarrow</math>~~000~~===		===<math>\rightarrow</math>===
	trivial		trivial

	===<math>\leftarrow</math>===		===<math>\leftarrow</math>===
	Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \subset G</math>		Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \subset G</math>

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

2018-06-05T08:31:12Z

Satz (Untergruppenkriterium 2)

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2018, 08:31 Uhr
Zeile 162:		Zeile 162:

	\forall a,b \in U : a \circ b^{-1}\in U		\forall a,b \in U : a \circ b^{-1}\in U
			==Beweis von UGK 2==
			Wenn UGK1 bewiesen wurde (was keine Schwierigkeit darstellt) reicht es zu zeigen, dass <math>\text{UGK1} \Leftrightarrow \text{UGK2}</math> gilt.<br />
			===<math>\rightarrow</math>000===
			trivial
			===<math>\leftarrow</math>===
			Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe mit Einselement <math>e</math>. <math>U \subset G</math>

	</math>		</math>

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

2018-06-03T13:02:40Z

Satz (Untergruppenkriterium 2)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2018, 13:02 Uhr
Zeile 158:		Zeile 158:
	=Untergruppenkriterium 2=		=Untergruppenkriterium 2=
	==Satz (Untergruppenkriterium 2)==		==Satz (Untergruppenkriterium 2)==
	::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:		::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G. ~</math> <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:
	:::<math>		:::<math>

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

2018-06-03T13:02:00Z

Satz (Untergruppenkriterium 2)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2018, 13:02 Uhr
Zeile 158:		Zeile 158:
	=Untergruppenkriterium 2=		=Untergruppenkriterium 2=
	==Satz (Untergruppenkriterium 2)==		==Satz (Untergruppenkriterium 2)==
	::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:		::Es sei <math>[G, \circ]</math> eine Gruppe und <math>U \subseteq G</math>. <math>~[U, \circ]</math> ist genau dann Untergruppe von <math>[G, \circ]</math>, wenn:
	:::<math>		:::<math>

Untergruppen, Untergruppenkriterien - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Zeigen, dass e \in U */

*m.g.*: /* Zeigen, dass die Verknüpfung \circ abgeschlossen auf U ist */

*m.g.*: /* Zeigen, dass mit b auch b^{-1} zu U gehört */

*m.g.*: /* Behauptungen */

*m.g.*: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

*m.g.*: /* \leftarrow */

*m.g.*: /* \rightarrow000 */

*m.g.*: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

*m.g.*: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

*m.g.*: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

m.g.: /* Zeigen, dass die Verknüpfung \circ abgeschlossen auf U ist */

m.g.: /* Zeigen, dass mit b auch b^{-1} zu U gehört */

m.g.: /* Behauptungen */

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

m.g.: /* \leftarrow */

m.g.: /* \rightarrow000 */

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */

m.g.: /* Satz (Untergruppenkriterium 2) */