Verkettung zweier Geradenspiegelungen WS 12 13 - Versionsgeschichte

Tutorin Anne: /* Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : */

2013-02-05T17:04:02Z

Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) :

← Nächstältere Version		Version vom 5. Februar 2013, 17:04 Uhr
Zeile 144:		Zeile 144:


	[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg]]		[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg\|800px]]

	===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===		===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===

TobiWan: /* Definition IX.4 (Translation): */

2013-02-04T19:21:25Z

Definition IX.4 (Translation):

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2013, 19:21 Uhr
Zeile 155:		Zeile 155:

	===== Definition IX.4 (Translation):=====		===== Definition IX.4 (Translation):=====
	Eine Translation/Verschiebung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa o Sb mit a parallel b. Die Abbildung wird um den doppelten Abstand der Geraden a und b verschoben.		Eine Translation/Verschiebung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa o Sb mit a parallel b. Die Abbildung wird um den doppelten Abstand der Geraden a und b verschoben.--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 20:21, 4. Feb. 2013 (CET)<br />

TobiWan: /* Definition IX.4 (Translation): */

2013-02-04T19:21:13Z

Definition IX.4 (Translation):

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2013, 19:21 Uhr
Zeile 155:		Zeile 155:

	===== Definition IX.4 (Translation):=====		===== Definition IX.4 (Translation):=====
			Eine Translation/Verschiebung ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa o Sb mit a parallel b. Die Abbildung wird um den doppelten Abstand der Geraden a und b verschoben.

Tutorin Anne: /* Definition IX.2 (Drehung): */

2013-02-04T12:45:57Z

Definition IX.2 (Drehung):

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2013, 12:45 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	===== Definition IX.2 (Drehung): =====		===== Definition IX.2 (Drehung): =====
	Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata\|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)		Eine Drehung D (S,<math>\delta</math> ) ist eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen an zwei sich im Punkt S scheidender Gerade. S ist der Drehpunkt und <math>\delta</math> ist der Drehwinkel.--[[Benutzer:Hakunamatata\|Hakunamatata]] 15:25, 18. Jan. 2013 (CET)
			*Genau--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 13:45, 4. Feb. 2013 (CET)

	=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===		=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

2013-01-26T20:42:37Z

Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) :

← Nächstältere Version		Version vom 26. Januar 2013, 20:42 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B}<br />		<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B}<br />
	Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math><br />		Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math><br />
	Beh: <math>\alpha ~~</math>~~=~~<math>~~\beta</math><br />		Beh: <math>\alpha \tilde {=} \beta</math><br />


Zeile 119:		Zeile 119:
	!Beweisschritte!!Begründung		!Beweisschritte!!Begründung
	\|-		\|-
	\| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB}</math~~> <br /~~> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> \|\| Mittelpunkt einer Strecke, Vor.		\| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \| \overline{AB}\| =\| \overline{AS}\| +\| \overline{SB}\|</math> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> \|\| Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
	\|-		\|-
	\| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B \|\| Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)		\| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B \|\| Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
Zeile 131:		Zeile 131:

	Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>\|\alpha \| =\|\beta \| </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> \| \overline{AB}\| =\| \overline{AS}\| +\| \overline{SB}\|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)		Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>\|\alpha \| =\|\beta \| </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> \| \overline{AB}\| =\| \overline{AS}\| +\| \overline{SB}\|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)
			<br />
			Ja, das waren Schreibfehler. Danke für den Hinweis, ich habe es oben korrigiert.<br />--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 21:42, 26. Jan. 2013 (CET)

	===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====		===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====

Hakunamatata: /* Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : */

2013-01-26T15:59:31Z

Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) :

← Nächstältere Version		Version vom 26. Januar 2013, 15:59 Uhr
Zeile 137:		Zeile 137:

	'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki!<br /><br />		'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki!<br /><br />




			[[Datei:Hakunamatata_2013-01-26_16.49.41.jpg]]

	===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===		===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===

Hakunamatata: /* Satz IX.6 : */

2013-01-26T15:26:05Z

Satz IX.6 :

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 *Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 * Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
 ===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) :  =====

Tutorin Anne: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

2013-01-25T13:54:38Z

Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) :

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2013, 13:54 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	Beweis:<br />		Beweis:<br />

	Vor: Geraden g,h,k \| g parallel h ^ k nicht parallel g<br />		Vor: Geraden g,h,k \|\| g parallel h <math>\wedge</math> k nicht parallel g<br />
	<math>\ g \cap k </math> = {A} ^ <math>\ h \cap k</math> = {B}<br />		<math>\ g \cap k </math> = {A} <math> \wedge </math> <math>\ h \cap k</math> = {B}<br />
	Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math><br />		Es entstehen die Wechselwinkel <math>\alpha </math>und <math>\beta</math><br />
	Beh: <math>\alpha </math>=<math>\beta</math><br />		Beh: <math>\alpha </math>=<math>\beta</math><br />

Zeile 92:		Zeile 92:
	!Beweisschritte!!Begründung		!Beweisschritte!!Begründung
	\|-		\|-
	\| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} =\overline{AS} +\overline{SB}</math><br /> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> \|\| Mittelpunkt einer Strecke, Vor.		\| 1. <math>\ S\in \overline{AB}</math> für das gilt: <math> \overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB}</math> <br /> mit <math>\overline{AS} \tilde {=} \overline{SB}</math> \|\| Mittelpunkt einer Strecke, Vor.
	\|-		\|-
	\| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B \|\| Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)		\| 2. D(S,180)h=g ^ D(S,180)A=B \|\| Def. Punktspiegelung, Satz IX.3, Satz IX.4, Vor., 1.)
Zeile 98:		Zeile 98:
	\| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k \|\| Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5		\| 3. D(S,180)S=S ^D(S,180)k=k \|\| Def Fixpunkt, Fixgerade, Satz IX.5
	\|-		\|-
	\| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> \|\| winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor.~~, 1.)~~, 2.),3.), ~~4.)~~		\| 4. D(S,180)<math>\alpha</math> =<math>\beta</math> \|\| winkelmaßerhaltend, winkeltreue, Vor., 2.),3.),
	\|-		\|-
	\| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> \|\| 4.)		\| 5. <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> \|\| 4.)
	\|}<br />--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET)<br />		\|}<br />--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 16:34, 19. Jan. 2013 (CET)<br />

			Sehr schöner Beweis. Stimmt auch bis auf zwei (ich nehme an) Schreibfehler: Die Behauptung muss lauten <math>\|\alpha \| =\|\beta \| </math> oder <math>\alpha \tilde {=} \beta</math>, denn die Wechselwinkel sind ja nicht identisch. In Schritt 1 gilt <math> \| \overline{AB}\| =\| \overline{AS}\| +\| \overline{SB}\|</math>, denn Strecken lassen sich nicht addieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 14:54, 25. Jan. 2013 (CET)

	===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====		===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====

Tutorin Anne: /* Satz IX.6 : */

2013-01-25T13:45:04Z

Satz IX.6 :

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2013, 13:45 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	\|}		\|}
	<br />--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET)<br />		<br />--[[Benutzer:TobiWan\|TobiWan]] 15:13, 19. Jan. 2013 (CET)<br />

			*Danke für den Beweis TobiWan. Schritt 3-5 sind richtig. Allerdings stimmt Schritt 1 nicht. Warum sollten die Strahlen identisch sein? Das sind sie in meiner Skizze nach deiner Voraussetzung nicht. Ich habe eine Ahnung, was du gemeint hast - aber den Fehler findest du oder andere bestimmt. Was möchtest du mit Schritt 2 sagen??--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)
			* Sonst würde ich mit der Voraussetzung allgemeiner beginnen: Es seine <math> \angle ASB</math> und <math> \angle CSD</math> zwei Scheitelwinkel. (Alles weitere folgt dann im Beweis.) Aber deine Voraussetzung ist schon auch in Ordnung.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 14:45, 25. Jan. 2013 (CET)

	===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====		===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====

TobiWan: /* Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : */

2013-01-19T15:34:38Z

Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) :

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 ===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) :  =====
 Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.<br />
-Beweis:
+Beweis:<br />
 ===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) :  =====