Winkelmessung - Versionsgeschichte

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

2010-07-25T12:06:17Z

Beweis von Satz V.2

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2010, 12:06 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	\| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS		\| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
	\|}		\|}
			--[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 12:06, 25. Jul. 2010 (UTC)

	== Rechte Winkel ==		== Rechte Winkel ==

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

2010-07-25T12:05:52Z

Beweis von Satz V.2

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2010, 12:05 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:

	==== Beweis von Satz V.2 ====		==== Beweis von Satz V.2 ====
			VSS: <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> <br />
			Beh: <math>\left\| \angle ASP \right\| < \left\| \angle ASB \right\|</math> und <math>\left\| \angle PSB \right\| < \left\| \angle ASB \right\|</math>

			{\| class="wikitable "
			\|+ Beweis
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math>
			\| Voraussetzung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| <math>\left\| \angle ASP \right\| + \left\| \angle PSB \right\| = \left\| \angle ASB \right\| </math>
			\| Axiom IV.3
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| <math>\left\| \angle ASP \right\| < \left\| \angle ASB \right\| </math>
			\| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| <math>\left\| \angle PSB \right\| < \left\| \angle ASB \right\| </math>
			\| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
			\|}

	== Rechte Winkel ==		== Rechte Winkel ==

TimoRR: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

2010-07-08T09:01:08Z

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2010, 09:01 Uhr
Zeile 115:		Zeile 115:

	Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?		Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
	<br/>Geraden sind eindimensionale Objekte. Ebenen sind zweidimensionale Objekte. Wenn Geraden komplanar sind, dann liegen alle Punkte (mindestens 2, da sonst keine Gerade) auf dieser Geraden in einer Ebene.
	Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden.
	~~(Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)~~

	~~Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)<br />~~
	Dier Sache mit der Dimension hab ich aus rein heuristischen Gründen mit in die Vorlesung genommen: Sie sollte Analogien zwischen Halbgeraden und dem zweidimensionalen Analogon Halbebenen herstellen. Wir gebrauchen hier den Begriff der Dimension also rein intuitiv. Da wir nicht exakt geklärt haben, was eine Dimension ist, können wir zwar unsere intuitiven Vorstellungen zum Begriff der Dimension zur Findung von Beweisideen einsetzen, zum Beweisen selbst aber nicht.<br />
	~~Eine <u>Definition</u>, die festlegt, dass jede Gerade zwei verschiedene Punkte enthält, kenne ich nicht.~~
	~~<br/>~~
	~~Oder anders ausgedrückt:~~
	Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)		Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

Löwenzahn: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

2010-07-02T15:18:39Z

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 15:18 Uhr
Zeile 133:		Zeile 133:
	:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .		:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
	die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)		die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
	::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... ~~. eine Gerade <math>\ h</math>~~ gibt, die vollständig zu <math>\epsilon</math> ~~gehört~~ und <math>\ g~~</math> und <math>\ h~~</math> senkrecht ~~aufeinander stehen~~. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:33, 30. ~~Jun~~. 2010 (UTC)
			::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die
			<math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

	==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====		==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

Löwenzahn: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

2010-06-30T16:33:26Z

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

← Nächstältere Version		Version vom 30. Juni 2010, 16:33 Uhr
Zeile 133:		Zeile 133:
	:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .		:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
	die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)		die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
	::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht ~~aueinander~~, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .		::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... . eine Gerade <math>\ h</math> gibt, die vollständig zu <math>\epsilon</math> gehört und <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinander stehen. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 16:33, 30. Jun. 2010 (UTC)

	==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====		==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

m.g.: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

2010-06-28T13:52:21Z

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juni 2010, 13:52 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:

	Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)<br />		Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)<br />
	Dier Sache mit der Dimension hab ich aus rein heuristischen Gründen mit in die ~~Vorleung~~ genommen: Sie sollte Analogien zwischen Halbgeraden und dem zweidimensionalen Analogon Halbebenen herstellen. Wir gebrauchen hier den Begriff der Dimension also rein intuitiv. Da wir nicht exakt geklärt haben, was eine Dimension ist, können wir zwar unsere intuitiven Vorstellungen zum Begriff der Dimension zur Findung von ~~Ideen~~ einsetzen, zum Beweisen selbst aber nicht.<br />		Dier Sache mit der Dimension hab ich aus rein heuristischen Gründen mit in die Vorlesung genommen: Sie sollte Analogien zwischen Halbgeraden und dem zweidimensionalen Analogon Halbebenen herstellen. Wir gebrauchen hier den Begriff der Dimension also rein intuitiv. Da wir nicht exakt geklärt haben, was eine Dimension ist, können wir zwar unsere intuitiven Vorstellungen zum Begriff der Dimension zur Findung von Beweisideen einsetzen, zum Beweisen selbst aber nicht.<br />
	Eine <u>Definition</u>, die festlegt, dass jede Gerade zwei verschiedene Punkte enthält, kenne ich nicht.		Eine <u>Definition</u>, die festlegt, dass jede Gerade zwei verschiedene Punkte enthält, kenne ich nicht.
	<br/>		<br/>

m.g.: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

2010-06-28T13:51:14Z

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juni 2010, 13:51 Uhr
Zeile 118:		Zeile 118:
	Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden.		Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden.
	(Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)		(Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)

			Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)<br />
			Dier Sache mit der Dimension hab ich aus rein heuristischen Gründen mit in die Vorleung genommen: Sie sollte Analogien zwischen Halbgeraden und dem zweidimensionalen Analogon Halbebenen herstellen. Wir gebrauchen hier den Begriff der Dimension also rein intuitiv. Da wir nicht exakt geklärt haben, was eine Dimension ist, können wir zwar unsere intuitiven Vorstellungen zum Begriff der Dimension zur Findung von Ideen einsetzen, zum Beweisen selbst aber nicht.<br />
			Eine <u>Definition</u>, die festlegt, dass jede Gerade zwei verschiedene Punkte enthält, kenne ich nicht.
	<br/>		<br/>
	Oder anders ausgedrückt:		Oder anders ausgedrückt:
	Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)		Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

			korrekt --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)

	===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====		===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====

m.g.: /* Beweis von Satz V.4 : */

2010-06-28T13:38:32Z

Beweis von Satz V.4 :

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juni 2010, 13:38 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	<br />Ein zweiter Versuch:		<br />Ein zweiter Versuch:
	<br />Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)		<br />Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

			Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:38, 28. Jun. 2010 (UTC):
			Ich hab Ihnen die Definition "supplementär" anders formuliert. (Meist ist eine Definition als Äquivalenz gemeint.) Jetzt dürften Ihre Probleme ausgeräumt sein. Der Beweis und die Äquivalenz sind korrekt.

	<br /> {{#ev:youtube\|Lur1-hWGgH0}}		<br /> {{#ev:youtube\|Lur1-hWGgH0}}

m.g.: /* Definition V.7 : (Supplementärwinkel) */

2010-06-28T13:35:14Z

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juni 2010, 13:35 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:

	==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====		==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
	:: Zwei Winkel, ~~deren~~ Größen ~~zusammen~~ 180 ~~ergeben, sind supplementär~~.		:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

	==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====		==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====

Maude001: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

2010-06-27T11:45:00Z

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juni 2010, 11:45 Uhr
Zeile 122:		Zeile 122:
	Ergänzen Sie:		Ergänzen Sie:
	:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .		:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
			die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
	::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .		::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .

Winkelmessung - Versionsgeschichte

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

TimoRR: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

Löwenzahn: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

Löwenzahn: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

*m.g.*: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

*m.g.*: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

*m.g.*: /* Beweis von Satz V.4 : */

*m.g.*: /* Definition V.7 : (Supplementärwinkel) */

Maude001: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

m.g.: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

m.g.: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

m.g.: /* Beweis von Satz V.4 : */

m.g.: /* Definition V.7 : (Supplementärwinkel) */