Zentrische Streckungen (2011/12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* Fall 2 */

2012-05-22T21:09:31Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 21:09 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:		Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
	<math>P' = \|ZP\|k</math> und <math>Q' = \|ZQ\|k</math>.<br />		<math>\|ZP'\| = \|ZP\|k</math> und <math>\|ZQ'\| = \|ZQ\|k</math>.<br />
	Nun gilt: <math>\frac{\|ZQ\|k} {\|ZQ\|} = \frac{\|ZP\|k} {\|ZP\|} = k </math>.<br />		Nun gilt: <math>\frac{\|ZQ\|k} {\|ZQ\|} = \frac{\|ZP\|k} {\|ZP\|} = k </math>.<br />
	Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen		Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen

HecklF: /* Fall 2 */

2012-05-22T21:05:44Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 21:05 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>		::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>
	::::Übungsaufgabe		::::Übungsaufgabe

			Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
			<math>P' = \|ZP\|k</math> und <math>Q' = \|ZQ\|k</math>.<br />
			Nun gilt: <math>\frac{\|ZQ\|k} {\|ZQ\|} = \frac{\|ZP\|k} {\|ZP\|} = k </math>.<br />
			Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
			Streckung (also unserer Geraden g') {{Schrift_orange\|parallel ist.}}
			q. e. d.
			<br />
			--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)

m.g.: /* Fall 2 */

2012-01-25T17:12:13Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 17:12 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	::::trivial, <math>g \equiv g'</math>		::::trivial, <math>g \equiv g'</math>
	::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>		::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>
			::::Übungsaufgabe

m.g.: /* Fall 2 */

2012-01-25T17:11:01Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 17:11 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	====Fall 2====		====Fall 2====
	:: <math>Z \not\in g</math>		:: <math>Z \not\in g</math>
	::: Annahme: <math>\exist S: \left{S\right} = g \cap g'</math>		::: Annahme: <math>\exist S \in g \cap g'</math>
			::::Fall 2.1: <math>\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S</math>
			::::trivial, <math>g \equiv g'</math>
			::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>

m.g.: /* Fall 2 */

2012-01-25T17:06:11Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 17:06 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	====Fall 2====		====Fall 2====
	:: <math>Z \not\in g</math>		:: <math>Z \not\in g</math>
			::: Annahme: <math>\exist S: \left{S\right} = g \cap g'</math>

m.g.: /* =Beweis II.11 */

2012-01-25T17:02:14Z

=Beweis II.11

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 17:02 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	===Satz II.11===		===Satz II.11===
	::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>.		::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>.
	===Beweis II.11==		===Beweis II.11===
	::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)		::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
	===Satz II.12===		===Satz II.12===
Zeile 30:		Zeile 30:
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

	===Beweis von Satz II.11===		===Beweis von Satz II.12===
	====Fall 1===		====Fall 1====
			::<math>Z \in g</math>
			::: Nach Satz II.11 gilt <math>g \equiv g'</math> und damit <math>g \\|\| g'</math>.
			====Fall 2====
			:: <math>Z \not\in g</math>

m.g.: /* Satz II.11 */

2012-01-25T16:59:18Z

Satz II.11

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 16:59 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:

	===Satz II.11===		===Satz II.11===
			::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>.
			===Beweis II.11==
			::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
			===Satz II.12===
	:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \\|\| g'</math>.		:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \\|\| g'</math>.
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

	===Beweis von Satz II.11===		===Beweis von Satz II.11===
	====Fall 1===		====Fall 1===

m.g.: /* Satz II.11 */

2012-01-25T16:55:25Z

Satz II.11

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 16:55 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \\|\| g'</math>.		:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \\|\| g'</math>.
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]
			===Beweis von Satz II.11===
			====Fall 1===

m.g.: /* Beweis von Satz II.09 */

2012-01-25T16:44:58Z

Beweis von Satz II.09

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 16:44 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	::: (II) <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow \|AB\|+\|BC\|=\|AC\|</math>		::: (II) <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow \|AB\|+\|BC\|=\|AC\|</math>
	::: Den Rest erledigen die Strahlensätze.		::: Den Rest erledigen die Strahlensätze.
			===Satz II.10: Korollar aus Satz II.09===
			:: Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

			===Satz II.11===
			:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \\|\| g'</math>.
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

m.g.: /* Beweis von Satz II.09 */

2012-01-25T16:41:12Z

Beweis von Satz II.09

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2012, 16:41 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	::Hinweise:		::Hinweise:
	::: (I) <math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B) </math>		::: (I) <math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B) </math>
	::: (II)		::: (II) <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow \|AB\|+\|BC\|=\|AC\|</math>
			::: Den Rest erledigen die Strahlensätze.

	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Zentrische Streckungen (2011/12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* Fall 2 */

HecklF: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* =Beweis II.11 */

*m.g.*: /* Satz II.11 */

*m.g.*: /* Satz II.11 */

*m.g.*: /* Beweis von Satz II.09 */

*m.g.*: /* Beweis von Satz II.09 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* =Beweis II.11 */

m.g.: /* Satz II.11 */

m.g.: /* Satz II.11 */

m.g.: /* Beweis von Satz II.09 */

m.g.: /* Beweis von Satz II.09 */