Quiz der Woche

Es sei $R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $M$. Wir zerlegen $M$ derart in Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $M$, die in der Relation $R$ zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von $M$ in die Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist eine Klasseneinteilung von $M$.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

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1 Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus $M$ zu indizieren. Unter der Klasse $T_a$ verstehen wir dann alle Elemente von $M$, die mit dem Element $a$ aus M in der Relation $R$ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

	$\underset{a\in M}{\bigwedge }:T_a:=\{b|b\in M\wedge bRa\}$
	$\underset{b\in M}{\bigwedge }:T_b:=\{x|x\in M\wedge xRb\}$

2 Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $R$ ist eine

Das bedeutet:

(R) $R$ ist

(S) $R$ ist

(T) $R$ ist

3 Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $M$ in die Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist eine von $M$.

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $T_i$ und $T_j$ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist die Menge

(0) Weder $T_1$ noch $T_2$ noch irgendeine andere der Mengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist .