Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.
Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.<br />
'''Satz:''' <br />Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>.


<div class="zuordnungs-quiz">
[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]
<big>'''Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.'''</big><br>
Wir gehen von der folgenden Menge <math> \ M</math> aus: <br> <math>\lbrace</math>-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 <math>\rbrace</math> <br>
Die Relation <math>\ R</math> sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus <math>\ M</math> stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird <math>\ M</math> in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.
 
{|
| -40 || 40 || 0 || 12 || -100
|-
| 17 || 17 || -55 || -15 || -35 || 65 || 33 || -15 || -83
|-
| -26 || 70 || -62 || -22 || 26 || 50
|-
| 75 || -13 || 7 || 95 || -9 || 3 || 91 || 31 || -61 || -17
|}
 
</div>


<quiz>
<quiz>
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+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
</quiz>
Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von <math>M</math> eine Klasseneinteilung von <math>M</math> sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:


<quiz>
{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
| type="{}" }
| type="{}" }
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(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
</quiz>
 
<quiz>
{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
{ Überlegungen zur Behauptung
| type="{}" }
| type="{}" }
<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.
<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.

Aktuelle Version vom 16. Mai 2010, 15:54 Uhr

Es sei $ \ R $ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $ \ M $. Wir zerlegen $ \ M $ derart in Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $ \ M $, die in der Relation $ \ R $ zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von $ \ M $ in die Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist eine Klasseneinteilung von $ \ M $.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

  

1 Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus $ \ M $ zu indizieren. Unter der Klasse $ \ T_{a} $ verstehen wir dann alle Elemente von $ \ M $, die mit dem Element $ \ a $ aus M in der Relation $ \ R $ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

$ \bigwedge _{a\in M}:T_{a}:=\lbrace b|b\in M\land bRa\rbrace $
$ \bigwedge _{b\in M}:T_{b}:=\lbrace x|x\in M\land xRb\rbrace $

2 Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $ R $ ist eine

Das bedeutet:
(R) $ R $ ist

(S) $ R $ ist

(T) $ R $ ist

3 Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $ \ M $ in die Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist eine

von $ \ M $.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $ \ T_{i} $ und $ \ T_{j} $ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist die Menge

(0) Weder $ \ T_{1} $ noch $ \ T_{2} $ noch irgendeine andere der Mengen $ \ T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},... $ ist

.

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