(10 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 60:
Zeile 60:
|}
|}
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit, desjeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:10, 27. Okt. 2011 (CEST)
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.
==Definition des Begriffs==
==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: <math>\overline{P\rho(P) } \perp g</math> und <math>|Pg| = |g\rho (P)|</math>.
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P\rho(P) }</math> ist.
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
Beweis: <br />
'''Beweis:''' <br />
Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)
Fall I: <math>A \in \overline{BB'}</math>: Nach Definition Mittelsenkrechten und Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ist dieser Fall bewiesen.<br /><br />
Fall II: <math>A \not\in \overline{BB'}</math><br />
Nach der Definition Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung und Defintion Geradenspiegelung ist g die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> <br />
=====Fall 3=====
Daraus folgt: |BL| = |LB'|<br />
A und L liegen auf g, danach gilt nach der Reflexivität von '=', das |AL| = |AL|<br />
Da das Mittelsenkrechtenkriterium einen Winkel von 90 vorschreibt, sind auch die beiden Winkel <math>\angle BLA</math> und <math>\angle ALB'</math> kongruent zueinander.<br />
Nach SWS, der Definition von Kongruenz und den drei vorherigen Beweisschritten ist klar, dass |AB| = |AB'| ist.<br /><br />
Wirtschaftlicher wäre der Beweis mit dem Mittelsenkrechtenkriterium zu führen, dort hätte man nur einen Beweisschritt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:17, 31. Okt. 2011 (CET)
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />
Beweis:<br>
'''Beweis:'''
Sei <math> L_a := AA' \cap g </math> und <math> L_b := BB' \cap g </math><br>
nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math> <br>
<math>\Rightarrow L_a \wedge L_b </math> sind Mittelpunkt der Strecken <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math><br>
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />
Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)<br>
Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)<br>
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
Zeile 141:
Zeile 97:
==== Satz 2.2 ====
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />
Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f<math>\neq</math> g.
<br />
<br />
Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.<br />
Der Schnittpunkt von <math>g \cap \overline{PP'} </math> sei L.<br /><br />
Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von <math> \overline{PP'} </math>.<br />
Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f <math>\equiv</math> g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)
Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Spiegelung an der Geraden
Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung
Übungsaufgabe:
Es sei ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von bei der Spiegelung an . Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
Konstruktion des Bildes eines Punktes bei der Spiegelung an einer Geraden ,
Nr.
Beschreibung des Schrittes
Genauere Beschreibung
Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.
...
...
...
2.
...
...
...
3.
...
...
...
Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden )
Es sei eine Gerade. Unter der Spiegelung an der Geraden versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...
Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung
Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)
Jede Geradenspiegelung ist eine abstandserhaltende Abbildung.
Beweis von Satz 2.1:
Es seien , zwei Punkte, die an einer Geraden auf ihre Bilder und gespiegelt werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
Fall 1
Beweis:
Fall 2
,
Beweis:
Fall 3
, und liegen in derselben Halbebene bezüglich
Beweis:
Fall 4
, und liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich
Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen
Bestimmung über die Spiegelgerade
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
Satz 2.2
Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.
Satz 2.3
Eine Geradenspiegelung ist durch die Angabe eines Punktes und dem Bild von eindeutig bestimmt, falls gilt.
