Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2012 13)

Fixpunkte Beispiele/Gegenbeispiele In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunkte bezüglich der genannten Abbildung? (a) Punkt $ \ A $ auf der Geraden $ \ g $ bezüglich der Spiegelung an $ \ g $. (b) Punkt $ \ A $ auf der Geraden $ \ g $ bezüglich einer Verschiebung längs $ \ g $. (c) Punkt $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =30^{\circ } $ um $ \ Z $. (d) Punkt $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =360^{\circ } $ um $ \ Z $. (e) Punkt $ A\notin g $ bezüglich der Spiegelung an $ \ g $. (f) Jeder Punkt $ \ Q $ bezüglich der Identität. (g) Jeder Punkt $ \ D $ bezüglich einer zentrischen Streckung an dem Punkt $ \ Z $. (h) Der Punkt $ \ D $ bezüglich einer zentrischen Streckung an sich selbst. (i) Jeder Punkt der Ebene $ \ \delta $ bezüglich einer senkrechten Parallelprojektion auf die Ebene $ \ \delta $. (j) Der Zentralpunkt $ \ Z $ einer Zentralprojektion. Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung $ \ \varphi $ ) Ein Punkt $ \ F $ heißt Fixpunkt einer Abbildung $ \ \varphi $, wenn $ \varphi $ $ F $ auf sich selbst abbildet. Richtig verstanden? Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen (a) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{h} $. (b) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{g} $. (c) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{h}\circ S_{g} $. (d) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{g}\circ S_{h} $. (e) Jede von der Identität verschiedene Drehung hat genau einen Fixpunkt. (f) Es gibt fixpunktfreie Geradenspiegelungen. (g) Es gibt fixpunktfreie Verschiebungen. (h) Ihr Beispiel ... . Fixgeraden Beispiele/Gegenbeispiele In welchen Fällen handelt es sich um Fixgeraden bezüglich der genannten Abbildung? (a) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung. (bezüglich dieser zentrischen Streckung) (b) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung. (bezüglich dieser zentrischen Streckung, Streckfaktor 1) (c) Gerade durch das Drehzentrum einer Drehung mit dem Drehwinkel 35°. (bezüglich dieser Drehung) (d) Gerade durch $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =360^{\circ } $ um $ \ Z $. (e) Gerade die nicht parallel zur Verschiebungsrichtung einer von der Identität verschiedenen Verschiebung ist. (bzgl. dieser Verschiebung) Definition Definition 3.2: (Fixgerade einer Abbildung $ \ \varphi $ ) Eine Gerade $ \ f $ heißt Fixgerade einer Abbildung $ \ \varphi $, wenn $ \varphi $ $ \ f $ auf sich selbst abbildet. Richtig verstanden? Fixpunktgeraden Beispiele/Gegenbeispiele In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunktgeraden bezüglich der genannten Abbildung? (a) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung mit einem von 1 verschiedenen Streckfaktor. (bezüglich dieser zentrischen Streckung) (b) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktor 1. (bezüglich dieser zentrischen Streckung) (c) Gerade durch das Drehzentrum einer Drehung mit dem Drehwinkel 35°. (bezüglich dieser Drehung) (d) Gerade durch $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =360^{\circ } $ um $ \ Z $. (e) Gerade die parallel zur Verschiebungsrichtung einer von der Identität verschiedenen Verschiebung ist. (bzgl. dieser Verschiebung) Definition Definition 3.3: (Fixpunktgerade einer Abbildung $ \ \varphi $ ) Eine Gerade $ \ f $ heißt Fixpunktgerade einer Abbildung $ \ \varphi $, wenn ... (ergänzen Sie selbst). Richtig verstanden? Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen (a) Es sei $ \varphi $ eine Abbildung mit Fixpunktgeraden. $ \varphi $ hat dann auch Fixgeraden. (b) Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist eine Fixgerade dieser Abbildung. (c) Jede Fixgerade einer Abbildung ist eine Fixpunktgerade dieser Abbildung. (d) $ g $ sei Fixpunktgerade der Bewegung $ \varphi $, dann gilt: $ \forall P\in g:P=\varphi (P) $