Übung 6: Unterschied zwischen den Versionen
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=Aufgaben zur Inzidenz= | =Aufgaben zur Inzidenz= | ||
==Aufgabe 6.1== | ==Aufgabe 6.1== | ||
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält. | Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zu <math>\ g</math> gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die sowohl alle Punkte von <math>\ g</math> als auch den Punkt <math>\ P</math> enthält. | ||
[[Lösung von Aufgabe 6.1]] | [[Lösung von Aufgabe 6.1]] | ||
== Aufgabe 6.2== | == Aufgabe 6.2== | ||
Das Axiom I.7 sagt aus: | Das Axiom I.7 sagt aus: | ||
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==Aufgabe 6.4== | ==Aufgabe 6.4 (*)== | ||
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. | Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. | ||
Lösung von Aufgabe 6.4 | [[Lösung von Aufgabe 6.4]] | ||
=Aufgaben zum Abstand= | =Aufgaben zum Abstand= | ||
==Aufgabe 6.5== | ==Aufgabe 6.5== | ||
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<u>'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''</u> | <u>'''Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>'''</u> | ||
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. | ::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert. | ||
Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>. | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.5]] | |||
==Aufgabe 6.6== | |||
Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an. | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.6]] | |||
==Aufgabe 6.7== | |||
Definieren Sie, was man unter einem Kreis <math>\ k</math> mit dem Mittelpunkt <math>\ M</math> versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.) | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.7]] | |||
==Aufgabe 6.8== | |||
Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht. | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.8]] | |||
==Aufgabe 6.9== | |||
<u>'''Satz:'''</u> | |||
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | |||
Beweisen Sie diesen Satz. | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.9]] (Lösungsschema vorbereitet) | |||
==Aufgabe 6.10== | |||
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.<br /> | |||
<u>'''Satz:'''</u><br /> | |||
::Es seien <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> zwei Kreise mit den Mittelpunkten <math>\ M_1</math> bzw. <math>\ M_2</math> und den Radien <math>\ r_1</math> bzw. <math>\ r_2</math>. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen. <br />Die Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt <math>\ S</math> gemeinsam, wenn <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> gilt. | |||
# Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen ''dann und nur dann'' sowie ''einen und nur einen''. | |||
# Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet. | |||
# Bweisen Sie die beiden Implikationen. | |||
[[Lösung von Aufgabe 6.10]] | |||
Aktuelle Version vom 21. Juni 2010, 13:13 Uhr
Aufgaben zur Inzidenz
Aufgabe 6.1
Es sei $ \ g $ eine Gerade und $ \ P $ ein Punkt, der nicht zu $ \ g $ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $ \ \mathrm {E} $, die sowohl alle Punkte von $ \ g $ als auch den Punkt $ \ P $ enthält.
Aufgabe 6.2
Das Axiom I.7 sagt aus:
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Es sei $ \ \mathrm {E} $ eine beliebige Ebene und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A, B, C, D die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A, B, C, D mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon auftreten können.
Aufgabe 6.3
Satz:
- Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
- Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
- Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
Beweis
- Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A, B, C und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ D drei Punkte, die nicht komplanar sind.
zu zeigen
- ...
Annahme:
- Es gibt drei der Punkte vier Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A, B, C, D , die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...
Aufgabe 6.4 (*)
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Aufgaben zum Abstand
Aufgabe 6.5
Eine informelle Definition:
Definition: Halbgerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): AB^+
- Gegeben seien zwei verschiedene Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ B . Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden $ \ AB^{+} $ versteht man die Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} über Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ B hinaus verlängert.
Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ AB^+ .
Aufgabe 6.6
Gegeben seien zwei nicht identische Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ B . Unter Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ AB^- wollen wir die Menge aller Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P verstehen, die man erhält, wenn man Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} über $ \ A $ hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P an.
Aufgabe 6.7
Definieren Sie, was man unter einem Kreis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k mit dem Mittelpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)
Aufgabe 6.8
Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.
Aufgabe 6.9
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A, B und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ C ein und derselben Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.
Lösung von Aufgabe 6.9 (Lösungsschema vorbereitet)
Aufgabe 6.10
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_1
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_2
zwei Kreise mit den Mittelpunkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M_1
bzw. $ \ M_{2} $ und den Radien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ r_1
bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ r_2
. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen.
Die Kreise Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_1 und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_2 haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ S gemeinsam, wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2| gilt.
- Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_1
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ k_2
zwei Kreise mit den Mittelpunkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M_1
bzw. $ \ M_{2} $ und den Radien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ r_1
bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ r_2
. Keiner der Mittelpunkte möge dabei im Inneren des jeweils anderen Kreises liegen.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Bweisen Sie die beiden Implikationen.
