Übungen 09

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 2

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren $v_1=(4,4,4),v_2=(2,4,6)$ und $v_3=(3,4,5)$ ein Erzeugendensystem von${\mathbb{ℝ}}^3$ bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche $t\in \mathbb{ℝ}$ die Vektoren $v_1=(1,3,4),v_2=(3,t,11),v_3=(-4,-4,0)$ linear abhängig in ${\mathbb{ℝ}}^3$ sind.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$X=\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ -1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ -2\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\\ 1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ -1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right)\}.$
Gilt $<X>={\mathbb{ℝ}}^4$?

Aufgabe 4

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1=x_3\}$
b)$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{ℝ}}^4:x_1+3x_2+2x_4=0;2x_1+x_2+x_3=0\}$

Aufgabe 5

Sei V ein reeler Vektorraum und $a,b,c,d,e\in V$. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
$v_1=a+b+c$, $v_2=2a+2b+2c-d$, $v_3=a-b-e$, $v_4=5a+6b-c+d+e$, $v_5=a-c+3e$, $v_6=a+b+d+e$

Aufgabe 6

Austauschlemma:
Sei $B=(v_1,v_2....v_r)$Basis und $b={\lambda }_1{v}_1+...+{\lambda }_n{v}_n$. Falls ${\lambda }_k\ne 0$ ist (für ein $k\in \mathbb{\mathbb{N}},1\le k\le n)$, so ist auch die Menge $B^{\prime }=\{v_1,...v_{k-1},b,v_{k+1}...,v_n\}$ eine Basis von V.

Beweisen Sie das Lemma.

(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)

Aufgabe 7

Konstruieren Sie eine Basis für den von $v_1=(1,-2,0,1),v_2=(0,0,2,5),v_3=(-2,4,2,3)$

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von ${\mathbb{ℝ}}^4$.