Lösung von Aufg. 12.06 SoSe 13

Aufgabe 12.06 Beweisen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks $\overline{ABC}$ schneiden sich in genau einem Punkt $S$, welcher der Mittelpunkt des Inkreises von $\overline{ABC}$ ist. Lösung Zunächst müssen sich die Winkelhalbierende $w_{\alpha }$ und $w_{\beta }$ in genau einem Punkt $M$ schneiden. Sollte dem nicht so sein wären die durch $w_{\alpha }$ und $w_{\beta }$ bestimmten Geraden parallel zueinander. Nach dem Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen wäre jetzt $\frac{|\alpha |}{2}+\frac{|\beta |}{2}=180$, was ein Widerspruch zur Innenwinkelsumme im Dreieck wäre. $M\in w_{\alpha }\Rightarrow |M,AB|=|M,AC|$ (Winkelhalbierendenkriterium) $M\in w_{\beta }\Rightarrow |M,AB|=|M,BC|$ (Winkelhalbierendenkriterium) $|M,BC|=|M,AC|$ (1 und 2) $M\in w_{\gamma }$ (3 und Winkelhalbierendenkriterium) Der Rest ergibt sich aus dem Tangentenkrierium und dadurch, dass durch drei nichkollineare Punkte genau ein Kreis bestimmt ist. --*m.g.* 22:51, 18. Jul. 2013 (CEST) Zurück zu: Serie 12 SoSe 2013