Elementare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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|Abwurfhöhe || <math>~~~h_0</math> | |||
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| Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) || <math>~~~v_0</math> | |||
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| Abwurfwinkel|| <math>~~~\alpha</math> | |||
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===Herleitung der Vektorgleichung=== | |||
====x-Komponente==== | |||
Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:<br /> | |||
<math>v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t</math> | |||
====y-Komponente==== | |||
Es addieren sich: | |||
# y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: <math>v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t</math> | |||
# Fallbewegung nach unten: <math>y_f=\frac{g}{2}t^2</math> | |||
# Damit <math>y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2</math> | |||
# Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math> | |||
====Experimentierumgebung==== | |||
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====Experimentieraufgaben==== | |||
Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe <math>h_0</math> bei <math>x=18m</math> auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche? | |||
====Umstrukturierung==== | |||
Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math> eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) <math>y=ax^2+bx+c</math>. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II). | |||
=Der Funktionsbegriff= | =Der Funktionsbegriff= | ||
==Elemente der Mengenlehre== | ==Elemente der Mengenlehre== | ||
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==Funktionen als spezielle Relationen== | ==Funktionen als spezielle Relationen== | ||
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===Linkstotal=== | ===Linkstotal=== | ||
<math>\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R</math> | |||
===Rechtseindeutig=== | ===Rechtseindeutig=== | ||
<math>\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2</math> | |||
===Eineindeutige Funktionen=== | ===Eineindeutige Funktionen=== | ||
===Umkehrfunktion=== | ===Umkehrfunktion=== | ||
=Lineare Funktionen= | =Lineare Funktionen= | ||
==proportionale Funktionen== | ==proportionale Funktionen== | ||
==nichtproportionale lineare Funktionen== | ==nichtproportionale lineare Funktionen== | ||
==== Steigung ==== | |||
<iframe scrolling="no" title="Steigung positiv/negativ" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HU7eUNc7/width/1198/height/584/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1198px" height="584px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich. | |||
* Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck. | |||
* Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich. | |||
'''Satz:''' Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte <math>(x_1, f(x_1))</math> und <math>(x_2, f(x_2))</math> wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt. | |||
Gegeben seien zwei Punkte: | |||
<math>P_1(x_1, f(x_1))</math> und <math>P_2(x_2, f(x_2))</math> | |||
<math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> | |||
<math>a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math> | |||
<math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math> | <math>\cdot{(x-x_1)}</math> <math>+f(x_1)</math> | |||
<math>f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)</math> | |||
<math>f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)</math> | |||
<math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} </math> → ''a'' | |||
<math>-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)</math> → ''dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.'' | |||
Somit ergibt sich: <math>f(x)=a\cdot{x} - b</math> | |||
==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen== | ==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen== | ||
==ax+by+c=0== | ==ax+by+c=0== | ||
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==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck== | ==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck== | ||
==Sinus und Kosinus am Einheitskreis== | ==Sinus und Kosinus am Einheitskreis== | ||
<iframe scrolling="no" title="Sinus und Kosinus am Einheitskreis " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/D7XvfBPZ/width/1203/height/495/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1203px" height="495px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
==Graphen der Funktionen sin und cos== | ==Graphen der Funktionen sin und cos== | ||
==Spezielle Funktionswerte== | ==Spezielle Funktionswerte== | ||
{| class="wikitable" | |||
|- | |||
! α !! 0° !! 30° !! 45° !! 60° !! 90° | |||
|- | |||
| sin α|| 0 || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> || 1 | |||
|- | |||
| cos α || 1 || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||<math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || 0 | |||
|- | |||
| tan α || 0 || <math>\frac{1}{3}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||1|| <math>\sqrt{3}</math> || - | |||
|} | |||
===30°=== | ===30°=== | ||
===45°=== | ===45°=== | ||
===60°=== | ===60°=== | ||
[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.jpg|thumb|Erstellt mit Geogebra]] | |||
Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte. | |||
''Herleitung mit Satz des Pythagoras und über sin,cos, tan an rechtwinkligen Dreiecken. Will das Jemand ausgeschrieben oder reicht die Zeichnung?'' | |||
Aktuelle Version vom 24. April 2017, 17:51 Uhr
Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten
Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf
Eingangsgrößen
| Abwurfhöhe | $ ~~~h_{0} $ |
| Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) | $ ~~~v_{0} $ |
| Abwurfwinkel | $ ~~~\alpha $ |
Herleitung der Vektorgleichung
x-Komponente
Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$ v_{x}=v_{0}\cdot \cos \alpha \Rightarrow x=v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t $
y-Komponente
Es addieren sich:
- y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $ v_{y}=v_{0}\cdot \sin \alpha \Rightarrow y_{w}=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t $
- Fallbewegung nach unten: $ y_{f}={\frac {g}{2}}t^{2} $
- Damit $ y=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2} $
- Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $
Experimentierumgebung
Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.
Experimentieraufgaben
Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $ h_{0} $ bei $ x=18m $ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?
Umstrukturierung
Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $ y=ax^{2}+bx+c $. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).
Der Funktionsbegriff
Elemente der Mengenlehre
Kreuzprodukt zweier Mengen
Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.
$ M\times N:=\{(a,b)|a\in M,b\in N\} $
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): y=x^2
Relationen
Ordnungsrelationen
Äquivalenzrelationen
Funktionen als spezielle Relationen
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Linkstotal
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R
Rechtseindeutig
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2
Eineindeutige Funktionen
Umkehrfunktion
Lineare Funktionen
proportionale Funktionen
nichtproportionale lineare Funktionen
Steigung
Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.
- Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
- Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
- Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.
Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x_1, f(x_1)) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (x_2, f(x_2)) wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.
Gegeben seien zwei Punkte:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1(x_1, f(x_1)) und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2(x_2, f(x_2))
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
$ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}} $ | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot{(x-x_1)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): +f(x_1)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} → a
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)
→ dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.
Somit ergibt sich: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x)=a\cdot{x} - b
Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen
ax+by+c=0
quadratische Funktionen
Parabeln
Parabel als Ortskurve
Parabel als Funktion
Scheitelpunktslage
auf x-Achse verschoben
mit beliebigem Vektor verschoben
Winkelfunktionen
Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site.
Graphen der Funktionen sin und cos
Spezielle Funktionswerte
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2} | $ {\frac {1}{2}} $ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{2} | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{3} | 1 |
| cos α | 1 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{3} | $ {\frac {1}{2}} $ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{2} | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{2} | 0 |
| tan α | 0 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{3} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cdot Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{3} | 1 | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sqrt{3} | - |
30°
45°
60°
Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.
Herleitung mit Satz des Pythagoras und über sin,cos, tan an rechtwinkligen Dreiecken. Will das Jemand ausgeschrieben oder reicht die Zeichnung?
