Elementare Funktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$ ~~~h_{0} $
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$ ~~~v_{0} $
Abwurfwinkel	$ ~~~\alpha $

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$ v_{x}=v_{0}\cdot \cos \alpha \Rightarrow x=v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t $

y-Komponente

Es addieren sich:

1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $ v_{y}=v_{0}\cdot \sin \alpha \Rightarrow y_{w}=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t $
2. Fallbewegung nach unten: $ y_{f}={\frac {g}{2}}t^{2} $
3. Damit $ y=v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2} $
4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $ h_{0} $ bei $ x=18m $ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $ P(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\cdot \sin \alpha \cdot t-{\frac {g}{2}}t^{2}\\v_{0}\cdot \cos \alpha \cdot t\end{pmatrix}} $ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $ y=ax^{2}+bx+c $. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

$ M\times N:=\{(a,b)|a\in M,b\in N\} $
$ y=x^{2} $

Funktionen als spezielle Relationen

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Linkstotal

$ \forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R $

Rechtseindeutig

$ \forall a\in A:\forall b_{1},b_{2}\in B:(a,b_{1})\in R\wedge (a,b_{2})\in R\Rightarrow b_{1}=b_{2} $

Lineare Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

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• Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
• Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
• Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $ (x_{1},f(x_{1})) $ und $ (x_{2},f(x_{2})) $ wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

Gegeben seien zwei Punkte:

$ P_{1}(x_{1},f(x_{1})) $ und $ P_{2}(x_{2},f(x_{2})) $

$ a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} $

$ a={\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}} $

$ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}} $ | $ \cdot {(x-x_{1})} $ $ +f(x_{1}) $

$ f(x)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {(x-x_{1})}+f(x_{1}) $

$ f(x)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x}-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x_{1}}+f(x_{1}) $

$ {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x} $ → a

$ -{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {x_{1}}+f(x_{1}) $ → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.

Somit ergibt sich: $ f(x)=a\cdot {x}-b $

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Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Spezielle Funktionswerte

α	0°	30°	45°	60°	90°
sin α	0	$ {\frac {1}{2}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {2}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	1
cos α	1	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	$ {\frac {1}{2}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {2}} $	$ {\frac {1}{2}} $	0
tan α	0	$ {\frac {1}{3}} $ $ \cdot $ $ {\sqrt {3}} $	1	$ {\sqrt {3}} $	-

60°

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Erstellt mit Geogebra

Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.

Herleitung mit Satz des Pythagoras und über sin,cos, tan an rechtwinkligen Dreiecken. Will das Jemand ausgeschrieben oder reicht die Zeichnung?