Implikationen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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=Mathematische Aussagen=
=Implikationen=
==Beispiele==
==Generelle Kennzeichnung von Implikationen==
===Primzahlen===
Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:
Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
* Wenn <math>a</math> dann <math>b</math>.
{| class="wikitable"
* Aus <math>a</math> folgt <math>b</math>.
|-
* <math>a</math> impliziert <math>b</math>.
! Aussage!! Wahrheitswert
* <math>b</math> ist eine Folgerung aus <math>a</math>.
|-
* Unter der Voraussetzung, dass <math>a</math> gilt, gilt auch <math>b</math>.
| Die Zahl <math>3</math> ist eine Primzahl.|| wahr
* <math>a</math> ist hinreichend dafür, dass <math>b</math> gilt.
|-
* <math>a \Rightarrow b</math>
| Die Zahl <math>4</math> ist eine Primzahl.|| falsch
|-
| Es gibt unendlich viele Primzahlen.|| wahr
|-
| Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.|| wahr.
|}
Keine Aussage zu Primzahlen ist:<br />
: Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.


===Wichtige Sätze der Schulgeometrie===
Die Aussage <math>a</math> heißt in der Implikation <math>a \Rightarrow b</math> Voraussetzung, die Aussage <math>b</math> wird Behauptung genannt.
Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
*Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
*Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
*Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
*Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
* .....
* .....
* .....
 
==Begriff der Aussage==
Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:
 
*Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).
 
Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:
 
*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
 
Beide Prinzipien zusammengefasst:
*Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.
 
==Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen==
Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
{| class="wikitable"
|-
! keine Aussage!! Aussage
|-
| Gründonnerstag|| Gründonnerstag regnet es immer.
|-
| Ab jetzt heißt Raider Twix.|| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
|-
| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.|| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.
|-
| Konstruiere einen Kreis.|| ihr Beispiel
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}
 
==Die Negation einer Aussage==
===Beispiele===
{| class="wikitable"
|-
! Aussage !! Negation der Aussage
|-
| <math>2</math> ist Primzahl|| <math>2</math> ist keine Primzahl
|-
| Die Eisernen steigen auf.|| Die Eisernen steigen nicht auf.
|-
| Die Hose ist grün.|| Die Hose ist nicht grün.
|-
| Bier schmeckt gut. || Bier schmeckt nicht gut.
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}
 
===Wahrheitswerttabelle===
Wenn <math>p</math> eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit <math>\neg p</math> die Negation von <math>p</math> zu kennzeichnen.
{| class="wikitable"
|-
! <math>p</math> !! <math>\neg p</math>
|-
| wahr || falsch
|-
| falsch|| wahr
|}
Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen <math>\neg</math> ist \neg.
==Verknüpfung zweier Aussagen==
===Das logische und===
==== Die Idee====
Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
==== Beispiel Teilbarkeit von Summen====
Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
Voraussetzung <math>1</math>: <math>t|a</math><br />
Voraussetzung <math>2</math>: <math>t|b</math><br />
Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: <math>t|a \land t|b</math>.
====Wahrheitswertabelle====
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \land b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| falsch
|-
| falsch || wahr|| falsch
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
 
Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
==Das logische oder==
===Die Idee===
Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.
===Wahrheitswerttabelle===
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \lor b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.<br />
Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).
===Wahrheitswerttabelle entweder oder===
exklusives oder
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \dot\lor b</math>
|-
| wahr || wahr || falsch
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}


==Beispiele==
===Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3===
:Wenn die Quersumme <math>\overline{a}</math>einer natürlichen Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>a</math> durch <math>3</math> teilbar.<br />
:In Formelsprache: <math>\forall a \in \mathbb{N}: 3|\overline{a} \Rightarrow 3|a</math>
*Voraussetzung: <math>3|\overline{a}</math>
*Behauptung: <math>3|a</math>


=== Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen===
:Für alle natürlichen Zahlen <math>a,b,t</math> gilt:<br />
::Wenn <math>t</math> die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> teilt, dann teilt <math>t</math> auch die Summe <math>a+b</math>.
:In Formelsprache:
:<math>\forall a,b,t \in \mathbb{N}:</math><br />
::<math>t|a \land t|b \Rightarrow t|(a+b)</math>
*Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
::V<sub>1</sub>: <math>t|a</math>
::V<sub>2</sub>: <math>t|b</math>
::V: <math>t|a \land t|b</math>
*Behauptung:<br />
::<math>t|(a+b)</math>
===Implikation 3: Nebenwinkelsatz===
:Wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen <math>180^\circ</math>
In anderer Formulierung ohne wenn-dann:
:Nebenwinkel ergänzen sich zu <math>180^\circ</math>
*Voraussetzung:
:: <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel
*Behauptung:
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind supplementär.
===Implikation 4: Scheitelwinkelsatz===
:Wenn die beiden Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.
alternative Formulierung ohne wenn-dann:
:Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
:Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
*Voraussetzung
::<math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Scheitelwinkel
*Behauptung
::<math>|\alpha|=|\beta|</math> bzw. <math>\alpha \cong \beta</math>
===Implikation 5: Nonsens===
:Wenn die Gerade <math>g</math> durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht und jede der drei Seiten <math>\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{AC}</math> geht, dann ist <math>\sqrt{2}</math> eine rationale Zahl.
*Voraussetzung:
:<math>\text{nkoll}(A,B,C) \land A,B,C \not\in g \land g \cap \overline{AB} \not= \empty \land g \cap \overline{BC} \not= \empty \land g \cap \overline{AC} \not= \empty</math>
*Behauptung:
:<math>\exist n,m \in \mathbb{N}: \frac{n}{m} = \sqrt{2}</math>
===Implikation 6: Satz des Thales===
{{#ev:youtube|yOgu9FAK5AM}}


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Aktuelle Version vom 10. Mai 2017, 16:04 Uhr

Implikationen

Generelle Kennzeichnung von Implikationen

Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt:

  • Wenn $ a $ dann $ b $.
  • Aus $ a $ folgt $ b $.
  • $ a $ impliziert $ b $.
  • $ b $ ist eine Folgerung aus $ a $.
  • Unter der Voraussetzung, dass $ a $ gilt, gilt auch $ b $.
  • $ a $ ist hinreichend dafür, dass $ b $ gilt.
  • $ a\Rightarrow b $

Die Aussage $ a $ heißt in der Implikation $ a\Rightarrow b $ Voraussetzung, die Aussage $ b $ wird Behauptung genannt.

Beispiele

Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3

Wenn die Quersumme $ {\overline {a}} $einer natürlichen Zahl $ a $ durch $ 3 $ teilbar ist, dann ist auch die Zahl $ a $ durch $ 3 $ teilbar.
In Formelsprache: $ \forall a\in \mathbb {N} :3|{\overline {a}}\Rightarrow 3|a $
  • Voraussetzung: $ 3|{\overline {a}} $
  • Behauptung: $ 3|a $

Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen

Für alle natürlichen Zahlen $ a,b,t $ gilt:
Wenn $ t $ die Zahlen $ a $ und $ b $ teilt, dann teilt $ t $ auch die Summe $ a+b $.
In Formelsprache:
$ \forall a,b,t\in \mathbb {N} : $
$ t|a\land t|b\Rightarrow t|(a+b) $
  • Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden:
V1: $ t|a $
V2: $ t|b $
V: $ t|a\land t|b $
  • Behauptung:
$ t|(a+b) $

Implikation 3: Nebenwinkelsatz

Wenn $ \alpha $ und $ \beta $ Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen $ 180^{\circ } $

In anderer Formulierung ohne wenn-dann:

Nebenwinkel ergänzen sich zu $ 180^{\circ } $
  • Voraussetzung:
$ \alpha $ und $ \beta $ sind Nebenwinkel
  • Behauptung:
$ \alpha $ und $ \beta $ sind supplementär.

Implikation 4: Scheitelwinkelsatz

Wenn die beiden Winkel $ \alpha $ und $ \beta $ Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe.

alternative Formulierung ohne wenn-dann:

Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder
Scheitelwinkel sind kongruent zueinander.
  • Voraussetzung
$ \alpha $ und $ \beta $ sind Scheitelwinkel
  • Behauptung
$ |\alpha |=|\beta | $ bzw. $ \alpha \cong \beta $

Implikation 5: Nonsens

Wenn die Gerade $ g $ durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $ geht und jede der drei Seiten $ {\overline {AB}},{\overline {BC}},{\overline {AC}} $ geht, dann ist $ {\sqrt {2}} $ eine rationale Zahl.
  • Voraussetzung:
$ {\text{nkoll}}(A,B,C)\land A,B,C\not \in g\land g\cap {\overline {AB}}\not =\emptyset \land g\cap {\overline {BC}}\not =\emptyset \land g\cap {\overline {AC}}\not =\emptyset $
  • Behauptung:
$ \exists n,m\in \mathbb {N} :{\frac {n}{m}}={\sqrt {2}} $

Implikation 6: Satz des Thales

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