Serie 2 Untergruppen SoSe 2017

Serie 2 Untergruppen SoSe 2017 Aufgabe 2.1 Es seien $[G,\odot ]$ und $[U,\otimes ]$ zwei Gruppen mit $U\subset G$. Warum ist $[U,\otimes ]$ keine Untergruppe von $[G,\odot ]$? Aufgabe 2.2 Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $e$ gehört zu jeder Untergruppe von $G$. Aufgabe 2.3 Es sei $[U,\otimes ]$ eine Untergruppe von $[G,\otimes ]$ nach Definition 6. Beweisen Sie: (I) $\mathrm{\forall }a,b\in U:a\otimes b\in U$, (II) $\mathrm{\forall }a\in U:a^{-1}\in U$. Aufgabe 2.4 Es sei $[G,\otimes ]$ eine Gruppe und $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$. Beweisen Sie: Wenn (I) $\mathrm{\forall }a,b\in U:a\otimes b\in U$ und (II) $\mathrm{\forall }a\in U:a^{-1}\in U$ dann ist $[U,\otimes ]$ eine Untergruppe von $[g,\otimes ]$ entsprechend Definition 6. Aufgabe 2.5 Beweisen Sie Satz 3. Aufgabe 2.6 Es sei $[G,\otimes ]$ eine Gruppe und $g\in G$ mit $|g|=n$. $U$ sei die Menge aller Potenzen $g^i$ mit $0<j\le n$. Beweisen Sie: $[U,\otimes ]$ ist Untergruppe von $[G,\otimes ]$.