Definitionen WS10/11

Hier geht es zu den Axiome WS10/11

Hier geht es zu den Sätze WS10/11

Definitionen (1)

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $ M_{1},\ M_{2},\ M_{3},\ ...,\ M_{n}\ n $ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $ M_{1}\times M_{2}\times M_{3}...\times M_{n} $ ist eine $ \ n- $stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $ M $ eine Menge und $ K=\{T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},...\} $ eine Menge von Teilmengen von $ M $.

$ K $ ist eine Klasseneinteilung von $ M $, wenn

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $ M $.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definitionen (2)

Definitionen I

Definition I/2 (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5 (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6 (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)

analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar

Definition I/7 (komplanar für Geraden)==

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8 (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g || h.

Definition I/9 (windschief)

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10 (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definitionen II

Definition II.1 (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $ \ A $ und $ \ B $ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $ \ A $ und $ \ B $ zugeordnet werden kann.

Schreibweise: $ d=\left|AB\right| $.

Definition II.2 (Zwischenrelation)

Ein Punkt $ \ B $ liegt zwischen zwei Punkten $ \ A $ und $ \ C $, wenn $ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $ gilt und der Punkt $ \ B $ sowohl von $ \ A $ als auch von $ \ C $ verschieden ist.

Schreibweise: $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $

Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $ \ A $ und $ \ B $ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $ \ A $ und $ \ B $ sowie alle Punkte, die zwischen $ \ A $ und $ \ B $ liegen, enthält, heißt Strecke $ {\overline {AB}} $.

• Wieso zwei verschiedene Punkte? Laut meinen Kenntnissen stimmt diese Definition so nicht! --Bulkathos

Definition II.4 (Länge einer Strecke)

Es seien $ \ A $ und $ \ B $ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $ \vert AB\vert $ heißt Länge der Strecke $ {\overline {AB}} $.

Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl)

Halbgerade $ AB^{+} $

$ AB^{+}:=\{P\mid \operatorname {Zw} (A,P,B)\lor \operatorname {Zw} (A,B,P)\}\cup \{A,B\} $

Halbgerade $ AB^{-} $

$ AB^{-}:=\left\{P|Zw(P,A,B)\right\}\cup \left\{A\right\} $

Definitionen III

Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $ \ M $ der Strecke $ {\overline {AB}} $ zu den Endpunkten $ \ A $ und $ \ B $ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $ {\overline {AB}} $.

Definitionen IV

Definition IV.1 (offene Halbebene)

Es sei $ \ \mathrm {E} $ eine Ebene in der die Gerade $ \ g $ liegen möge. Ferner sei $ \ Q $ ein Punkt der Ebene $ \ \mathrm {E} $, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $ \ gQ^{+} $ und $ \ gQ^{-} $ bezüglich der Trägergeraden $ \ g $ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $ \ \mathrm {E} $ ohne die Gerade $ \ g $ :

$ \ gQ^{+}:=\{P|\neg \exists S\in \{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\} $ oder $ \ gQ^{+}:=\{P|{\overline {PQ}}\cap g=\{\}\land P\in E/g\} $

$ \ gQ^{-}:=\{P|\exists S\in \{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\}\setminus \{g\} $ oder $ \ gQ^{-}:=\{P|{\overline {PQ}}\cap g\not =\{\}\land P\in E/g\} $ oder $ \ gQ^{-}:=\{P|P\in E/g\land P\not \in gQ^{+}\} $

Definition IV.2 (Halbebene)

Es sei $ \ g $ eine Gerade der Ebene $ \ \mathrm {E} $. $ \ gQ^{+} $ und $ \ gQ^{-} $ seien die beiden offenen Halbebenen von $ \ \mathrm {E} $ bezüglich $ \ g $. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon bezüglich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon bezüglich der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g mit jeweils dieser Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g entstehen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A und $ \ B $ dieser Menge die gesamte Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M gehört.

Definitionen V

Definition V.1 (Winkel)

Unter einem Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle pq versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle pq . Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S

Definition V.2 (Inneres eines Winkels)

Unter dem Inneren eines Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.

Definition V.3 (Scheitelwinkel)

(a) Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.

(b) Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^- sind Scheitelwinkel.

Definition V.4 (Nebenwinkel)

(a) Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.

(b) Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.

Definition V.5 (Größe eines Winkels)

Die Zahl $ \ \omega $, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha genannt.
In Zeichen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \left| \alpha \right| .

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h zwei Geraden. Wenn sich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $ \ g\perp \ h $

Definition V.9 (noch mehr Senkrecht)

1. Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und eine Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} stehen senkrecht aufeinander, wenn die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ AB senkrecht aufeinander stehen.

2. Eine Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \overline{AB} und eine Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \overline{CD} stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ AB senkrecht auf der Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ CD steht.

3. Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und eine Ebene $ \epsilon $ stehen senkrecht aufeinander, wenn es in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon zwei Geraden gibt, die sich schneiden und jeweils senkrecht zu g stehen--Engel82 12:50, 8. Dez. 2010 (UTC)

Defintionen VI

Definition VI.1 (Mittelsenkrechte)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ m eine Gerade und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} eine Strecke, die durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ m im Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M geschnitten wird. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ m ist die Mittelsenkrechte von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} , wenn

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m \perp AB
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| AM \right| = \left| MB \right|

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

(a) Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.

(b) Es seien $ \ p $,Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ w und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ S . Die Halbgerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle pq , wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ w im Inneren von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle pq liegt und die beiden Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle pw und $ \angle wq $ dieselbe Größe haben.

Definitionen VII

Definition VII.1 (Streckenkongruenz)

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.

In Zeichen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|

Definition VII.2 (Winkelkongruenz)

Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.

In Zeichen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |

Definition VII.3 (Dreieckskongruenz)

Wenn für zwei Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{DEF} die folgenden 6 Kongruenzen

1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} \cong \overline{DE}
2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{BC} \cong \overline{EF}
3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AC} \cong \overline{DF}
4. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle CAB \cong \angle FDE
5. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ABC \cong \angle DEF
6. $ \angle ACB\cong \angle DFE $

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{DEF} kongruent zueinander.

Definition VII.4 (gleichschenkliges Dreieck, Schenkel, Basis, Basiswinkel)

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.

Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Definitionen VIII

Definition VIII.1 (Außenwinkel eines Dreiecks) =

Gegeben sei ein Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline {ABC} . Alle Nebenwinkel der Innenwinkel des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline {ABC} heißen Außenwinkel des Dreiecks Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline {ABC} .

Definitionen IX

Definition IX.1 (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g gehören möge.

Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P $ \ \in h $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h \perp g heißt Lot/Lotgerade vom Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g und der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ L mit {Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ L } = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g \cap h heißt Lotfußpunkt des Lotes von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g .

Definition IX.2 (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $ \ P $ ein Punkt außerhalb von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g .

Der Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g ist der Abstand der Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ L , wobei L der Lotfußpunkt des Lotes von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g ist.