Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen

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:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
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=== Aufgabe ===
=== Aufgabe ===
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
a) <math>\left| AB \right| </math> '''= 5''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 4'''<br /><br />
a) <math>\left| AB \right| </math> '''= 4''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 5''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 2'''<br /><br />
b) <math>\left| AB \right| </math> '''= 2''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 5''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 1'''<br /><br />
c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
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=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
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::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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=== Definitionen und Sätze ===
===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt:<br />
::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.
::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
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Es gelten die folgenden Sätze:
===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
===== Beweis von Satz II.3: =====
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
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= Strecken und Halbgeraden =
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===Aufgabe===
Definieren Sie:
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ......(ergänzen Sie)
::Definition (Halbgerade <math>AB^-</math>): ......(ergänzen Sie)

Aktuelle Version vom 15. Mai 2012, 11:53 Uhr

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten  A und  B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl  d mit d=0:⟺A=B.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte  A und  B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten  A und  B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d=|AB|.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte  A und  B gilt |AB|=|BA|.










Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte  A,B und  C für die gilt:

a) |AB| = 4, |BC| = 3, |AC| = 5

b) |AB| = 2, |BC| = 3, |AC| = 5

c) |AB| = 1, |BC| = 2, |AC| = 5









Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte  A,B und  C gilt: |AB|+|BC|≥|AC|.
Falls koll⁡(ABC), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
|AB|+|BC|=|AC|
|AC|+|CB|=|AB|
|BA|+|AC|=|BC|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind  A,  B und  C kollinear.






Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt  B liegt zwischen zwei Punkten  A und  C, wenn gilt:
  • |AB|+|BC|=|AC| und
  •  A,  B und  C sind paarweise verschieden.
Schreibweise: Zw⁡(A,B,C)






Es gelten die folgenden Sätze:

Satz II.1
Aus Zw⁡(A,B,C) folgt Zw⁡(C,B,A).


Satz II.2:
Aus Zw⁡(A,B,C) folgt koll⁡(A,B,C).


Satz II.3
Es sei koll⁡(A,B,C) mit  A,B,C sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder Zw⁡(A,B,C) oder Zw⁡(A,C,B) oder Zw⁡(B,A,C).
Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?










Strecken und Halbgeraden


GeoGebra






Aufgabe

Definieren Sie:

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Es seien  A und  B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Es seien  A und  B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition (Halbgerade AB+): ......(ergänzen Sie)
Definition (Halbgerade AB−): ......(ergänzen Sie)
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