Beweisidee Aufgabe 4.3.2 S Übung Heckl (SoSe2012)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.

Beweis in zwei Fällen (Reihenfolge der Fälle ist irrelevant) durch Widerspruch:

Fall 1: Annahme: Gelte o. B. d. A. A = B $\ne$ C

Fall 2: Annahme: Gelte A = B = C = A

Kommentar zu Fall 2:

Sinnvollerweise schreiben wir zu 3): $\mathrm{\exists }P\ne A$, ansonsten könnte es ja sein, dass P = A ist; 

dann kann nämlich Axiom I.1 nicht angewendet werden - diesen Fall schließen wir somit aus und unser Axiom kann angewendet werden,

weil wir zwei verschiedene Punkte haben! --Flo60 20:33, 16. Mai 2012 (CEST)

Woher nehmen wir die Berechtigung für Schritt (3), dass es einen weiteren Punkt gibt, der nicht A ist? Da steht etwas von Axiom I.3. Ich kann den Zusammenhang aber leider nicht verstehen.

Servus Junghansl,
Axiom I.3 lautet wie folgt:

Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. 

Da unsere Punkte A, B, C laut Voraussetzung nicht paarweise verschieden sind, existieren noch wenigstens zwei weitere Punkte D und P für die gilt, dass $D\ne P$ ist und sie eben nicht identisch sind mit A, B und C. Aus diesem Grunde können wir uns ruhig einen von diesen beiden 'gönnen' :-). Ich hoffe, dass ich ein wenig helfen konnte. --Flo60 21:10, 21. Mai 2012 (CEST)

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Übung Aufgaben 4 S (SoSe 12)