Geradenspiegelungen (2012/13)

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung

Idee der Symmetrie

Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Falten

Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$

Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung

Übungsaufgabe:

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $g$, $(P\notin g)$

Nr.	Beschreibung des Schrittes	Genauere Beschreibung	Begründung der Korrektheit des Schrittes
1.	...	...	...
2.	...	...	...
3.	...	...	...

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

Definition des Begriffs

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$)

Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...

Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung

Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)

Jede Geradenspiegelung $S_g$ ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis von Satz 2.1:

Es seien $A$, $B$ zwei Punkte, die an einer Geraden $g$ auf ihre Bilder $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

Fall 1

$A,B$ $\in$ $g$

Beweis:

Fall 2

$A$ $\in$ $g$, $B$ $\notin$ $g$

Beweis:

Fall 3

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bezüglich $g$

Beweis:

Fall 4

$A,B$ $\notin$ $g$, $A$ und $B$ liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich $g$

Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen

Bestimmung über die Spiegelgerade

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz 2.2

Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

Satz 2.3

Eine Geradenspiegelung $S$ ist durch die Angabe eines Punktes $P$ und dem Bild von $S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $P=S(P)$ gilt.