Übung Aufgaben 5 (WS 12 13)

Aufgaben zu Relationen

Aufgabe 5.1

a) Geben Sie die Menge $M$ aller konvexen Drachenvierecke an.
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge $M\times M$.
c) Wir definineren eine Relation $R$ mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle R:="A\ ist\ Teilmenge\ von\ B"} . Bestimmen Sie die Relation $R$ auf $M\times M$.
d) Untersuchen Sie die Relation $R$ auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
Lösung von Aufgabe 5.1P (WS_12_13)

Aufgabe 5.2

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt?

• Parallelität von Geraden der Ebene
• Kongruenz geometrischer Figuren
• Teilbarkeit in $\mathbb{\mathbb{N}}$
• Kleinerrelation in $\mathbb{ℝ}$
• Größer-Gleich-Relation in $\mathbb{ℝ}$
• Ungleichheit in $\mathbb{ℝ}$

Lösung von Aufgabe 5.2P (WS_12_13)

Aufgabe 5.3

Untersuchen Sie folgende Relation S auf ihre Eigenschaften:
$gSh\iff g\cap h\ne \{\}$
Lösung von Aufgabe 5.3P (WS_12_13)

Aufgabe 5.4

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
Lösung von Aufgabe 5.4P (WS_12_13)

Aufgabe 5.5

Wir betrachten die Gerade g und auf dieser Geraden die Relation Punkt A liegt links von Punkt B ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu?

• Für jeden Punkt A von g gilt: A liegt links von sich selbst.
• Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: Wenn A links von B liegt, dann liegt B auch links von A.
• Für je drei Punkte A, B und C der Geraden g gilt: Wenn A links von B und B links von C liegt, dann liegt A auch links von C.
• Für alle Punkte der Geraden g gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
• Für je zwei Punkte A und B der Geraden g gilt: entweder liegt A links von B oder B liegt links von A oder die beiden Punkte A und B sind identisch.

Lösung von Aufgabe 5.5P (WS_12_13)