Isomorphie von Gruppen 2012 13

Definition Definition (Gruppenisomorphismus) Es seien $ \left(G,\oplus \right) $ und $ \left(H,\otimes \right) $ zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion $ \varphi $ von $ G $ auf $ H $ derart existiert, dass $ \forall a,b\in G:\varphi (a\oplus b)=\varphi (a)\otimes \varphi (b) $ gilt, dann sind die beiden Gruppen $ \left(G,\oplus \right) $ und $ \left(H,\otimes \right) $ isomorph zueinander. Die Abbildung $ \varphi $ heißt Gruppenisomorphismus. Beispiele Vierergruppen ergänzen Sie selbst ... Pfeilklassen der Ebene und $ \mathbb {R} ^{2} $ Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem $ K $ mit dem Koordinatenursprung $ O $ zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt $ 0 $. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung $ \varphi $ von der Menge der Pfeilklassen auf $ \mathbb {R} ^{2} $: $ \varphi ({\vec {OP}}):={\begin{pmatrix}x_{P}\\y_{P}\end{pmatrix}} $ mit $ x_{p},y_{P} $ sind die Kordnaten von $ P $ bzgl. $ K $. Behauptung: $ \varphi $ ist ein Gruppenisomorphismus von $ \left(\mathbb {P} _{2},+\right) $ auf $ \left(\mathbb {R} ^{2},\oplus \right) $ Pfeilklassen des Raumes und $ \mathbb {R} ^{3} $ analog zum zweidimensionalen Fall