Lösungen zu den Aufgaben 2

2.1

Berechnen Sie die Werte. Zur Kontrolle beachten (und verändern) Sie die GeoGebra Applikation im Wiki des Algorithmus von Bresenham.

2.2

Man betrachte den Steigungswinkel $\alpha$ am Steigungsdreieck. Mit der Steigung und dem $tan\alpha$ berechnen Sie den Winkel.
a) $3x-y=9\iff y=3x-9$.
$\tan \alpha =3\Rightarrow \alpha =71,57^{\circ }$

b) $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
$\tan \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =26,57^{\circ }$

c) $P(3|1)$ und $Q(-1|\frac{1}{2})$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-4}=\frac{1}{8}$
$\tan \alpha =\frac{1}{8}\Rightarrow \alpha =7,125^{\circ }$

2.3

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Umstellen ;-).

2.4

$ax+by+cz=d$ bezeichnet eine Ebene im ${\mathbb{ℝ}}^3$.
Es seien zwei Ebenen gegeben.
$e_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1$
$e_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2$
Die Lösungsmenge, die auf beide Ebenen passt entspricht der Schnittgerade. Damit kann also eine Gerade im ${\mathbb{ℝ}}^3$ mit zwei Gleichungen dargestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen nicht eindeutig.
Zur Bestimmung des Linearen Gleichungssystems, dass die Gerade durch die Punkte P, Q bestimmt, werden die beide Punkte je in die Gleichung $e_1$ und $e_2$ eingesetzt.

$5b_1-2c_1=d_1$
$14a_1+3b_{1}y+2c_1=d_1$

$5b_2-2c_2=d_2$
$14a_2+3b_{2}y+2c_2=d_2$

Lösung der LGS

Gauß ergibt:
$7a_1+4b_1=d_1$ und $7a_2+4b_2=d_2$
Jeweils zwei Werte können frei gewählt werden, allerdings ist dabei zu achten, dass keine Vielfachen der Gleichungen entstehen. Damit lassen sich die Punkte durch folgedens LGS beschreiben:
$2y+z=8$
$x+7y=35$