Lösung Aufgabe 11.02 WS 12 13

Aufgabe 11.02

Es seien $A,B,C$ drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel $\alpha =\mathrm{\angle }CAB$ und $\beta =\mathrm{\angle }CBA$ seien kongruent zueinander.
Behauptung:

$\overline{AC}\widetilde{=}\overline{BC}$

Lösung User --B..... 16:21, 24. Jan. 2013 (CET)

Vorbemerkung: Ich habe die Beiträge von B..... farbig hervorgehoben. Die rote Hervorhebungen kennzeichnen Probleme der Lösung von B......, die blauen gehen in Ordnung. --*m.g.* 09:48, 25. Jan. 2013 (CET)

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

$m_c$ sei die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:

Existenz- und Eindeutigkeit Mittelsenkrechte (Def. Mittelsenkrechte)

Kommentar: --*m.g.* 09:46, 25. Jan. 2013 (CET):

Existenz würde ausreichen, macht aber nichts mittels Existenz- und Eindeutigkeit zu begründen. Was nicht geht: Hier kann auf keinen Fall mittels einer Definition begründet werden: Wir wollen begründen, dass die Hilfskonstruktion überhaupt machbar ist. Das ist de facto eine Existenzaussage. Diese können niemals mittels Definitionen begründet werden.

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte $m_c$ durch $C$ gehen würde, wären die Strecken $\overline{CA}$ und $\overline{CB}$ kongruent zueinander.
Begründung hierfür:

Mittelsenkrechtenkriterium

Was wäre wenn nicht

Annahme: $C\in ̸m_c$

Nr.	Beweischritt	Begründung
(1)	$m_c$ schneidet o.B.d.A. $\overline{CA}$ in einem Punkt, den wir $c^{*}$ nennen wollen	An., Axiom von Pasch
(2)	$\overline{C^{*}A}\widetilde{=}\overline{C^{*}B}$	1), Mittelsenkrechtenkriterium
(3)	$\alpha \widetilde{=}\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$	2), Basiswinkelsatz
(4)	$\beta \widetilde{=}\alpha$	Vor.
(5)	$\beta \widetilde{=}\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$	.4),3)

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel $\beta$ und $\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$ sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel $B{A}^{+}$ gemeinsam haben und $C$ und $C^{*}$ in derselben Halbebene bzgl. $AB$ liegen,
müssen die die Schenkel $B{C}^{+}$ und $B{C}^{*+}$ nach dem Winkelkonstruktionsaxiom identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen $B{C}^{+}$ und $B{C}^{*+}$ und weil $C$ der Schnittpunkt von $BC$ mit $AC$ und $C^{*}$ der Schnittpunkt von $B{C}^{*}$ mit $AC$ ist, sind C* und C identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte $m_c$ durch den Punkt $C$. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{BC}$ gilt. q.e.d.

Lösung User ...

Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

$m_c$ sei die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte $m_c$ durch $C$ gehen würde, wären die Strecken $\overline{CA}$ und $\overline{CB}$ kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: $C\in ̸m_c$

Nr.	Beweischritt	Begründung
(1)	$m_c$ schneidet o.B.d.A. $\overline{CA}$ in einem Punkt, den wir $c^{*}$ nennen wollen	...
(2)	$\overline{C^{*}A}\widetilde{=}\overline{C^{*}B}$	...
(3)	$\alpha \widetilde{=}\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$	...
(4)	$\beta \widetilde{=}\alpha$	...
(5)	$\beta \widetilde{=}\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$	...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel $\beta$ und $\mathrm{\angle }{C}^{*}BA$ sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel $B{A}^{+}$ gemeinsam haben und $C$ und $C^{*}$ in derselben Halbebene bzgl. $AB$ liegen,
müssen die die Schenkel $B{C}^{+}$ und $B{C}^{*+}$ nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen $B{C}^{+}$ und $B{C}^{*+}$ und weil $C$ der Schnittpunkt von $BC$ mit $AC$ und $C^{*}$ der Schnittpunkt von $B{C}^{*}$ mit $AC$ ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte $m_c$ durch den Punkt $C$. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall $\overline{AC}\widetilde{=}\overline{BC}$ gilt. q.e.d.