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Ein Vektor <math>\vec{v}</math> wird durch einen Pfeil <math>\vec{AB}</math> repräsentiert. Geben Sie <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an. | Ein Vektor <math>\vec{v}</math> wird durch einen Pfeil <math>\vec{AB}</math> repräsentiert. Geben Sie <math>\vec{v}</math> als Zahlentripel an. | ||
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b) A(5,6,7), B(-3,9,-4) | b) A(5,6,7), B(-3,9,-4) | ||
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Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>. | Gegeben ist eine Verschiebung <math>\vec{v}</math> des Raumes durch einen Verschiebungspfeil <math>\vec{PP'}</math> mit <math>P(2,1,3)</math> und <math>P'(5,3,-1)</math>. | ||
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b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an. | b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte <math>A(3,-2,4)</math> und <math>B(3.5,2.5,-5)</math> bei der Verschiebung <math>\vec{v}</math> an. | ||
==Aufgabe | ==Aufgabe 5.3== | ||
Durch <math>\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} </math> werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben. | Durch <math>\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math> und <math>\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} </math> werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben. | ||
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==Aufgabe | ==Aufgabe 5.4== | ||
Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist: | Zeigen Sie, dass die Menge <math>P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0};</math> mit <math> a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}</math> der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen <math> + </math> und <math>\cdot</math> für beliebige <math>p, q \in P</math> mit<math> p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}</math> und <math>q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}</math> sowie <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> ein Vektorraum ist: | ||
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Aktuelle Version vom 28. Mai 2013, 09:25 Uhr
Pfeilklassen und $ \mathbb {R} $Vektorräume
Aufgabe 5.1
Ein Vektor $ {\vec {v}} $ wird durch einen Pfeil $ {\vec {AB}} $ repräsentiert. Geben Sie $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.
a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)
b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)
Aufgabe 5.2
Gegeben ist eine Verschiebung $ {\vec {v}} $ des Raumes durch einen Verschiebungspfeil $ {\vec {PP'}} $ mit $ P(2,1,3) $ und $ P'(5,3,-1) $.
a) Geben Sie den Verschiebungsvektor $ {\vec {v}} $ als Zahlentripel an.
b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte $ A(3,-2,4) $ und $ B(3.5,2.5,-5) $ bei der Verschiebung $ {\vec {v}} $ an.
Aufgabe 5.3
Durch $ {\vec {v_{1}}}={\begin{pmatrix}5\\3\\2\end{pmatrix}} $ und $ {\vec {v_{2}}}={\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}} $ werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.
a) Der Punkt $ P(-3,-3,3) $ wird zunächst um $ {\vec {v_{1}}} $ und dann um $ {\vec {v_{2}}} $ verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt $ P' $ und $ P'' $ an.
b) Geben Sie den Verschiebungsvektor $ {\vec {v}} $ an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen $ {\vec {v_{1}}} $ und $ {\vec {v_{2}}} $ beschreibt.
Aufgabe 5.4
Zeigen Sie, dass die Menge $ P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}; $ mit $ a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \} $ der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen $ + $ und $ \cdot $ für beliebige $ p,q\in P $ mit$ p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} $ und $ q(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0} $ sowie $ \lambda \in \mathbb {R} $ ein Vektorraum ist:
$ (p+q)(x):=p(x)+q(x)=(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}) $,
$ (\lambda \cdot p)(x):=\lambda \cdot p(x)=\lambda a_{2}x^{2}+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0} $
