Lösung von Aufg. 11.03 SoSe 13

Aufgabe 11.03 Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade. Lösung Existenz EXISTENZ Beweisschritt Begründung (I) Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $P1N\perp g$, dann ist $\overline{P1N}$ unser Lot. Fall 2: $P1N\perp ̸g$, dann weiter mit (II) Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten) (II) Antragen von $\alpha 1:\alpha 1\widetilde{=}\alpha 2$ Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom (III) Antragen von $|NP|1:|NP1|\widetilde{=}|NP2|$ Konstruktion, Axiom vom Lineal (IV) Antragen von $|NL|\widetilde{=}|NL|$ trivial (V) $\overline{LNP1}\widetilde{=}\overline{LNP2}$ (II), (III), (IV), SWS (VI) $\mathrm{\angle }NLP1\widetilde{=}\mathrm{\angle }NLP2$ beides rechte Winkel --> $\overline{PN}$ ist Lot auf g. Dieser Beweis wurde im SoSe 2010 von Studierenden selbständig im Wiki erbracht. --*m.g.* 23:44, 18. Jul. 2013 (CEST) Eindeutigkeit Es sei $\overline{PL}$ das Lot von $P$ auf $g$. Annahme: $\overline{PA}$ mit $A=L$ ist auch Lot von $P$ auf $g$. Dann hätte das Dreieck $\overline{PLA}$ zwei rechte Innenwinkel, was ein Widerspruch zu den Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz ist. --*m.g.* 23:48, 18. Jul. 2013 (CEST) Zurück zu: Serie 11 SoSe 2013