Geradenspiegelungen (2015 16)

Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung Idee der Symmetrie Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert. Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels Falten Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft? --*m.g.* 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST) Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei einer Spiegelung an der Geraden $g$ Reduktion der großen Idee Geradenspiegelung auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung Übungsaufgabe: Es sei $P$ ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden $g$ dieser Ebene gehört. Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von $P$ bei der Spiegelung an $g$. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte. Konstruktion des Bildes eines Punktes $P$ bei der Spiegelung an einer Geraden $g$, $(P\notin g)$ Nr. Beschreibung des Schrittes Genauere Beschreibung Begründung der Korrektheit des Schrittes 1. Lotgerade von $P$ auf $g$ Fällen des Lotes von $P$ auf die Gerade $g$. Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 2. Lotfußpunkt $L$ Einzeichnen des Lotfußpunktes $L$ als Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Lotgeraden von $P$ auf $g$. ... 3. $|PL|$ auf $L{P}^{-}$ abtragen, Erhalten $P^{\prime }$ Die Strecke $\overline{PL}$ wird auf dem Strahl $L{P}^{-}$ abgetragen, dadurch erhält man das Bild von $P$ bei Spiegelung an $g$ nämlich $P^{\prime }$ ... Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist. Definition des Begriffs Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden $g$) Es sei $g$ eine Gerade. Unter der Spiegelung $S_g$ an der Geraden $g$ versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt $P$ der Ebene wie folgt auf sein Bild $P^{\prime }$ abbildet: $P\equiv P^{\prime }$, falls $P\in g$ $g$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{P{P}^{\prime }}$, sonst. Geradenspiegelungen als Bewegungen Satz 2.1 Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden. Beweis von Satz 2.1: Es sind zwei Dinge zu zeigen: (I) Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade. (II) Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend. Es seien $A$, $B$ zwei Punkte, die an der Geraden $g$ auf ihre Bilder $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ durch die Spiegelung an $g$ abgebildet werden. Wir unterscheiden drei Fälle: Fall 1: Fall 2: Fall 3: Satz 2.2 Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1. Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen Bestimmung über die Spiegelgerade Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz: Satz 2.2 Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt. Beweis Satz 2.3 Eine Geradenspiegelung $S_g$ ist durch die Angabe eines Punktes $P$ und dem Bild von $S(P)$ eindeutig bestimmt, falls $P=S_g(P)$ gilt. Beweis