Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)

Es sei $P$ ein Punkt, der nicht zur Geraden $g$ gehören möge. ...

...Die Gerade $l$, die senkrecht auf $g$ steht und durch den Punkt $P$ geht heißt Lotgerade von $P$ auf $g$. Der Schnittpunkt $L$ von $l$ mit $g$, heißt Lotfußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$. Unter dem Lot von $P$ auf $g$, versteht man die Strecke $\overline{PL}$. --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)

Es sei $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Der Abstand von $P$ zu $g$ ist ...

... die Länge des Lotes $\overline{PL}$ von $P$ auf $g$. --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt $P$ außerhalb einer Geraden $g$ gibt es genau ein Lot von $P$ auf $g$.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Lösung von Aufgabe 12.4

EXISTENZ

	Beweisschritt	Begründung
(I)	Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $P1N\perp g$, dann ist $\overline{P1N}$ unser Lot. Fall 2: $P1N\perp ̸g$, dann weiter mit (II)	Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II)	Antragen von $\alpha 1:\alpha 1\cong \alpha 2$	Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III)	Antragen von $|NP|1:|NP1|\cong |NP2|$	Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV)	Antragen von $|NL|\cong |NL|$	trivial
(V)	$\overline{LNP1}\cong \overline{LNP2}$	(II), (III), (IV), SWS
(VI)	$\mathrm{\angle }NLP1\cong \mathrm{\angle }NLP2$	beides rechte Winkel --> $\overline{PN}$ ist Lot auf g.

$\overline{P1L}$ist Lot von P auf g.
Annahme: $\mathrm{\exists }N\in g$ mit $\overline{P1N}$ ist auch Lot von P auf g, $L\equiv ̸N.$
$\alpha 1$ ist bezüglich $\alpha$ nicht anliegender Innenwinkel ($\overline{NLP1}$) --> Widerspruch, weil $\alpha 1<\alpha$ (schwacher Außenwinkelsatz)