Untergruppen SoSe 2017

Untergruppen Beispiele Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrates ist eine Untergruppe der Deckabbildungen des Quadrates. Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist eine Untergruppe der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates. $ [\mathbb {Z} |_{2},+] $ ist eine Untergruppe von $ [\mathbb {Z} ,+] $ Definition Definition 6: (Untergruppe) Es sei $ [G,\odot ] $ eine Gruppe und $ U $ eine Teilmenge von $ G $. Wenn $ [U,\odot ] $ selbst eine Gruppe ist, dann ist $ [U,\odot ] $ eine Untergruppe von $ [G,\odot ] $ Untergruppenkriterium 1 Satz 2: (1. Untergruppenkriterium) Es sei $ [G,\odot ] $ eine Gruppe und $ U\subseteq G $ mit $ G\not =\emptyset $. $ [U,\odot ] $ ist genau dann Untergruppe von $ [G,\odot ] $, wenn $ \forall a,b\in U:a\odot b\in U $, $ \forall a\in U:a^{-1}\in U $. Beweis: Übungsaufgabe Untergruppenkriterium 2 Satz 3: (2. Untergruppenkriterium) Es sei $ [G,\odot ] $ eine Gruppe und $ U\subseteq G $ mit $ G\not =\emptyset $. $ [U,\odot ] $ ist genau dann Untergruppe von $ [G,\odot ] $, wenn $ \forall a,b\in U:a\odot b^{-1}\in U $. Beweis: Übungsaufgabe