Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die dritte Sitzung

Entsprechend Abbildung 1 wird der Punkt $P$ der Reihe nach durch die Drehstreckungen

${\delta }_1=D{S}_{Z,{\alpha }_1,k_1}$,

${\delta }_2=D{S}_{Z,{\alpha }_2,k_2}$,

${\delta }_3=D{S}_{Z,{\alpha }_3,k_3}$,

auf die Punkte $P^{\text{'}}$, $P^{{\text{'}}^{\prime }}$ und schließlich auf $P^{{\text{'}}^{″}}$ abgebildet.

Abbildung 1

Es möge $\overline{ZP}\cong \overline{P{P}^{\text{'}}}\cong \stackrel{‾}{P^{\text{'}}{P}^{{\text{'}}^{\prime }}}\cong \stackrel{‾}{P^{{\text{'}}^{\prime }}{P}^{{\text{'}}^{″}}}$ gelten.

1. Berechnen Sie die Streckfaktoren $k_1,k_2,k_3$. Begründen Sie Ihre Überlegungen.
2. Berechnen Sie den Streckfaktor $k$ der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung ${\delta }_3\circ {\delta }_2\circ {\delta }_1$ entsteht (erst ${\delta }_1$, dann ${\delta }_2$ , dann ${\delta }_3$).
3. Beweisen Sie: ${\alpha }_1=45^{\circ },{\alpha }_3=30^{\circ },\tan \left({\alpha }_2\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$.
4. Wir betrachten die Drehstreckung $\varphi =D{S}_{Z,\beta ,k}={\delta }_3\circ {\delta }_1$ (erst ${\delta }_1$ dann ${\delta }_3$). Das Bild $A^{\text{'}}$ eines beliebigen Punktes $A$ bei $\varphi$ soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
5. Die Idee der Konstruktion der Punkte $P^{\text{'}}$, $P^{{\text{'}}^{\prime }}$, $P^{{\text{'}}^{″}}$ wurde der Spirale des Theodorus [1] nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte $P^{{\text{'}}^{‴}}$, $P^{{\text{'}}^{⁗}}$,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke $\stackrel{‾}{Z{P}^{{\text{'}}^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime }}}$ ($P$ zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift.

Lösung