Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes: Unterschied zwischen den Versionen
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) ===== | ===== Definition X.1: (Stufenwinkel) ===== | ||
Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist. | |||
<br /> | --[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
<br /><br />Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel '''q''' und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC) | |||
===== Definition X.2: (Wechselwinkel) ===== | ===== Definition X.2: (Wechselwinkel) ===== | ||
< | Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. | ||
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC) | |||
===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) ===== | ===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) ===== | ||
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::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander. | ::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander. | ||
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===== | ===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===== | ||
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> und <math>\ | Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge. | ||
<u>Voraussetzung:</u> | <u>Voraussetzung:</u> | ||
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(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math> | (i) <math>\ \alpha \cong \beta</math> | ||
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<u>Behauptung:</u> | <u>Behauptung:</u> | ||
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<math>a\not\| b</math> | <math>a\not\| b</math> | ||
Unter Berücksichtigung von <math>a \not\equiv b</math> hätten die beiden Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entsprechend der | Unter Berücksichtigung von <math>a \not\equiv b</math> hätten die beiden Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entsprechend der Annahme genau einen Punkt <math>\ C</math> gemeinsam. | ||
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Bezüglich des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> ist <math>\ \beta</math> nun ein Außenwinkel. | |||
Der Winkel <math>\ \alpha</math> ist bezüglich <math>\ \beta</math> ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. | |||
Nach dem [[Der_schwache_Außenwinkelsatz|schwachen Außenwinkelsatz]] ist jetzt <math>\ \ beta</math> größer als <math>\ \ alpha</math>. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): <math>\ \alpha \cong \beta</math>. | |||
Aktuelle Version vom 23. Juli 2010, 19:49 Uhr
Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel
In welchen Fällen handelt es sich um....
- Stufenwinkel
- Wechselwinkel
- entgegengesetzt liegende Winkel?
Definition X.1: (Stufenwinkel)
Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel g und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.
---mogli- 15:55, 17. Jul. 2010 (UTC)
Ich glaube du meinst "... Die anderen beiden Schenkel q und s...". Und vielleicht ist es besser den letzten Teil so zu formulieren: "...bezüglich der Geraden g liegen, von welcher Strahl p eine Teilmenge ist." Klar ist diese Gerade durch die beiden Schenkel gegeben, aber es reicht ja auch einer und ich glaube die "Teilmengen-Formulierung" wäre mathematischer. Aber vielleicht ist das auch unnötige Erbsenzählerei meinerseits ;-) !?! --Barbarossa 19:49, 23. Jul. 2010 (UTC)
Definition X.2: (Wechselwinkel)
Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind. ---mogli- 15:57, 17. Jul. 2010 (UTC)
Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)
Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes
Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
- Es seien und zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade jeweils geschnitten werden. Es seien ferner und zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von mit und entstehen mögen.
- Wenn die beiden Stufenwinkel und kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden und parallel zueinander.
- Es seien und zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade jeweils geschnitten werden. Es seien ferner und zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von mit und entstehen mögen.
Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
Es seien und drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade möge in dem Punkt und die Gerade in dem Punkt schneiden. und sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von und mit entstehen möge.
Voraussetzung:
(i)
Behauptung:
Annahme:
Unter Berücksichtigung von hätten die beiden Geraden und entsprechend der Annahme genau einen Punkt gemeinsam.
Bezüglich des Dreiecks ist nun ein Außenwinkel.
Der Winkel ist bezüglich ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks .
Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt größer als . Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i): .
