Lösung von Aufgabe 2.7 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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=Aufgabe 2.6 SoSe 2018=
Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.<br />
'''Satz: (starker Außenwinkelsatz)'''
:Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. <br />
a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in ''Wenn-Dann-Form''.<br />
b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:<br />


[[Datei:Außenwinkelsatz.png|Skizze für den Beweis des starken Außenwinkelsatzes]]<br />
c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.<br />
=Lösung=
==Teilaufgabe a)==
Wenn ein Winkel <math> ~\beta '</math> ein Außenwinkel eines Dreiecks <math> \overline{ABC} </math> ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von <math> \overline{ABC}</math>, die keine Nebenwinkel zu <math> ~\beta '</math> sind.


==Teilaufgabe b)==
===Voraussetzung===
<math> ~\beta'</math> ist Außenwinkel von <math> \overline{ABC} </math>.
===Behauptung===
<math>\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert</math>
==Teilaufgabe c)==
<math>
\begin{matrix}
\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung des Beweisschrittes} \\
(1) & \beta' \text{ und } \beta \text{ sind Nebenwinkel.} & \text{Voraussetzung, Definition Außenwinkel} \\
(2) & \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert = 180^\circ & \text{ (1), Nebenwinkelsatz} \\
(3) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = 180^\circ & \text{Innenwinkelsatz für Dreiecke} \\
(4) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert & \text{(2), (3)} \\
(5) & \vert \alpha \vert  + \vert \gamma \vert =  \vert \beta' \vert & \text{(4), q.e.d.} \\
\end{matrix}
</math>
===Behauptung===
<math>\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert </math>
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|}
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</div>
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[[Kategorie:Einführung_S]]
[[Kategorie:Einführung_S]]

Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 10:48 Uhr

Aufgabe 2.6 SoSe 2018

Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus.
Satz: (starker Außenwinkelsatz)

Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form.
b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze:

Skizze für den Beweis des starken Außenwinkelsatzes
c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Lösung

Teilaufgabe a)

Wenn ein Winkel β′ ein Außenwinkel eines Dreiecks ABC‾ ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von ABC‾, die keine Nebenwinkel zu β′ sind.

Teilaufgabe b)

Voraussetzung

β′ ist Außenwinkel von ABC‾.

Behauptung

|β′|=|α|+|γ|

Teilaufgabe c)

Nr.BeweisschrittBegründung des Beweisschrittes(1)β′ und β sind Nebenwinkel.Voraussetzung, Definition Außenwinkel(2)|β|+|β′|=180∘ (1), Nebenwinkelsatz(3)|α|+|β|+|γ|=180∘Innenwinkelsatz für Dreiecke(4)|α|+|β|+|γ|=|β|+|β′|(2), (3)(5)|α|+|γ|=|β′|(4), q.e.d.

Behauptung

|β′|=|α|+|γ|

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