Lösung von Aufgabe 2.7 SoSe 2018

Aufgabe 2.6 SoSe 2018 Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus. Satz: (starker Außenwinkelsatz) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form. b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze: c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz. Lösung Teilaufgabe a) Wenn ein Winkel ${\beta }^{\prime }$ ein Außenwinkel eines Dreiecks $\overline{ABC}$ ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von $\overline{ABC}$, die keine Nebenwinkel zu ${\beta }^{\prime }$ sind. Teilaufgabe b) Voraussetzung ${\beta }^{\prime }$ ist Außenwinkel von $\overline{ABC}$. Behauptung $|{\beta }^{\prime }|=|\alpha |+|\gamma |$ Teilaufgabe c) $\begin{array}{ccc}\text{Nr.}& \text{Beweisschritt}& \text{Begründung des Beweisschrittes}\\ (1)& {\beta }^{\prime }\text{ und }\beta \text{ sind Nebenwinkel.}& \text{Voraussetzung, Definition Außenwinkel}\\ (2)& |\beta |+|{\beta }^{\prime }|=180^{\circ }& \text{ (1), Nebenwinkelsatz}\\ (3)& |\alpha |+|\beta |+|\gamma |=180^{\circ }& \text{Innenwinkelsatz für Dreiecke}\\ (4)& |\alpha |+|\beta |+|\gamma |=|\beta |+|{\beta }^{\prime }|& \text{(2), (3)}\\ (5)& |\alpha |+|\gamma |=|{\beta }^{\prime }|& \text{(4), q.e.d.}\\ \end{array}$ Behauptung $|{\beta }^{\prime }|=|\alpha |+|\gamma |$