Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Aufgabe 2.8 SoSe 2018 Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet: Satz: (Höhensatz) In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe $h_c$ auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten $q$ und $p$ entsprechen. Kurz: $h_c^2=q\cdot p$ Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras. Lösung Es sei $\overline{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel $\gamma =\mathrm{\angle }ACB$. Die Höhe $h$ von $C$ auf die Seite $c=\overline{AB}$ habe auf $c$ den Fußpunkt $L$. $L$ teilt die Hypotenuse $c$ in die beiden Hypotenusenabschnitte $q:=\overline{AL}$ und $p:=\overline{LB}$. Es gilt also $c=q+p$. Weil die Höhe $h$ senkrecht auf der Hypotenuse $c$ steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke $\overline{ALC}$ und $\overline{BLC}$. Im rechtwinkligen Teildreieck $\overline{ALC}$ ist $a=\overline{AC}$ die Hypotenuse und $\mathrm{\angle }ALC$ der rechte Winkel. Im rechtwinkligen Teildreieck $\overline{BLC}$ ist $b=\overline{BC}$ die Hypotenuse und $\mathrm{\angle }BLC$ der rechte Winkel. $\begin{array}{ccccc}\text{Nr.}& \text{Beweisschritt}& & & \text{Begründung}\\ \text{(I)}& a^2+b^2& =& c^2& \text{1. und Satz des Pythagoras für }\overline{ABC}\\ \text{(II)}& q^2+h^2& =& b^2& \text{ 6. und Satz des Pythagoras für }\overline{ALC}\\ \text{(III)}& p^2+h^2& =& a^2& \text{ 7. und Satz des Pythagoras für }\overline{BLC}\\ \text{(IV)}& a^2+b^2& =& (q+p{)}^2& \text{4. und (I)}\\ \text{(V)}& a^2+b^2& =& q^2+2qp+q^2& \text{(IV)}\\ \text{(VI)}& p^2+h^2+q^2+h^2& =& q^2+2qp+q^2& \text{ (III), (IV), (V)}\\ \text{(VII)}& 2h^2& =& 2qp& \text{(VI)}\\ \text{(VIII)}& h^2& =& qp& \text{ (VII), q.e.d.}\\ \end{array}$