Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen
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:: ... die Länge | :: ... die Länge des Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC) | ||
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Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 10:05 Uhr
Der Begriff des Lotes
Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehören möge. ...
- ...Die Gerade $ \ l $, die senkrecht auf $ \ g $ steht und durch den Punkt $ \ P $ geht heißt Lotgerade von $ \ P $ auf $ \ g $. Der Schnittpunkt $ \ L $ von $ \ l $ mit $ \ g $, heißt Lotfußpunkt des Lotes von $ \ P $ auf $ \ g $. Unter dem Lot von $ \ P $ auf $ \ g $, versteht man die Strecke $ {\overline {PL}} $. --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehören möge. ...
Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
- Es sei $ \ P $ ein Punkt außerhalb von $ \ g $. Der Abstand von $ \ P $ zu $ \ g $ ist ...
- ... die Länge des Lotes $ {\overline {PL}} $ von $ \ P $ auf $ \ g $. --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)
Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
- Zu jedem Punkt $ \ P $ außerhalb einer Geraden $ \ g $ gibt es genau ein Lot von $ \ P $ auf $ \ g $.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
| Beweisschritt | Begründung | |
|---|---|---|
| (I) | Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls $ P1N\perp g $, dann ist $ {\overline {P1N}} $ unser Lot. Fall 2: $ P1N\not \perp g $, dann weiter mit (II) |
Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten) |
| (II) | Antragen von $ \alpha 1:\alpha 1\cong \alpha 2 $ | Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom |
| (III) | Antragen von $ |NP|1:|NP1|\cong \ |NP2| $ | Konstruktion, Axiom vom Lineal |
| (IV) | Antragen von $ |NL|\cong \ |NL| $ | trivial |
| (V) | $ {\overline {LNP1}}\cong \ {\overline {LNP2}} $ | (II), (III), (IV), SWS |
| (VI) | $ \angle NLP1\cong \ \angle NLP2 $ | beides rechte Winkel --> $ {\overline {PN}} $ ist Lot auf g. |
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
$ {\overline {P1L}} $ist Lot von P auf g.
Annahme: $ \exists N\in g $ mit $ {\overline {P1N}} $ ist auch Lot von P auf g, $ L\not \equiv N. $
$ \alpha 1 $ ist bezüglich $ \alpha $ nicht anliegender Innenwinkel ($ {\overline {NLP1}} $) --> Widerspruch, weil $ \alpha 1<\alpha $ (schwacher Außenwinkelsatz)
