Lösung von Aufg. 7.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $ϵ$,nkomp(A,B,C,D)
Beh: $ϵ$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $ϵ$$\to$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $ϵ$
$A\in ϵ$ ,$B\in ϵ$
1) $A\in ϵ$ , $B\in ϵ$, $C\notin ϵ$ und $D\notin ϵ$
2)$\mathrm{nkoll}\left(ABC\right)$ $\to$ ${\delta }_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)$D\notin {\delta }_1$__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)$\mathrm{nkoll}\left(BCD\right)$ $\to$ ${\delta }_2$ ___________3)
5)$A\notin {\delta }_2$________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)$B\in {\delta }_2$ und $B\in ϵ$____________2) und 4)
7)$\mathrm{\exists }P$ ,$P\in ϵ$,$P\in {\delta }_2$________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\equiv ̸P$
Annahmne:$A\equiv P$
${\delta }_1$: $P\in {\delta }_1$, $B\in {\delta }_1$, $C\in {\delta }_1$
${\delta }_2$: $P\in {\delta }_2$, $C\in {\delta }_2$, $B\in {\delta }_2$
daraus folgt ${\delta }_1$ $\equiv$ ${\delta }_1$ $\to$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

3.Fall:
1)$A\in ϵ$
2)$A,B,D\in \beta$__________________Axiom I/4 und Lemma 3
3)$A,C,D\in \gamma$ ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4)$\beta$$\equiv ̸$$\gamma$_____________da sonst$A,B,C,D\in \beta$ Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5)$A\in \beta$, $A\in \gamma$__________2) und 3)
6)$\mathrm{\exists }{P}_1$, $P_1\in ϵ$, $P_1\in \beta$ ___________Axiom I/6
7)$\mathrm{\exists }{P}_2$, $P_2\in ϵ$, $P_{2}1\in \gamma$___________Axiom I/6

zu zeigen: $P_1\equiv ̸P_2$
Annahme: P1 =P2
8) A, D und $P_1=P_2\in \beta$
9) A, D und $P_1=P_2\in \gamma$
10)$\beta$= $\gamma$
11) Widerspruch zu 4)
$\to$ A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in $ϵ$

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von $ϵ$
$ϵ$ enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
$\to$ Fall 3