Übungsaufgaben 3 EG WS2010

Alle Aufgaben beziehen sich auf die ebene Geometrie.

Aufgabe 1

Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden $g$ und $h$ den Punkt $Z$ und nur den Punkt $Z$ gemeinsam haben, dann gilt $S_h\circ S_g=D_{Z,2|\mathrm{\angle }(g,h)}|$.

Gitl nicht: $S_h\circ S_g=D_{Z,\mathrm{\angle }(g,h)*2}$?--Tja??? 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC) hab's gerade geändert--*m.g.* 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke

Lösung von Aufgabe 1

Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung $S_h\circ S_g$ überhaupt eine Drehung ist.

Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass $S_h\circ S_g$ genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von $S_h\circ S_g$ (Der Leser überzeuge sich davon.)

Also ist $S_h\circ S_g$ eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel $\alpha$ dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).

Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch $S_h\circ S_g$ auf P' abgebildet wird, dass der Winkel $\mathrm{\angle }P,Z,P^{\prime }$ doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.

Begründung:

Aufgabe 2

Es seien $g$ und $h$ zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei $a$ eine Gerade, die senkrecht auf $g$ und damit auch senkrecht auf $h$ steht. Der Punkt $G$ sei der Schnittpunkt von $a$ mit $g$ und der gemeinsame Schnittpunkt von $a$ und $h$ sei mit $H$ bezeichnet.

Man beweise: $S_h\circ S_g=V_{2\overrightarrow{GH}}$.


==Beweis Aufgabe 2==

Es sei $P$ ein Punkt der Ebene mit $P\notin g,h$ (Für $P\in goderh$ geht der Beweis analog)
Wir haben zu zeigen:
1. $P{P}^{″}||GH$
2. $2|\overrightarrow{GH}|=\overline{|P{P}^{″}|}$
3. Den Richtungssinn müssen wir, glaube ich, nicht zeigen, da klar ist, dass wir zuerst an g und danach an h spiegeln und somit klar ist, dass die "Richtung" von G nach H geht (stimmt das??)

1. Bei der Spiegelung von $P$ an $g$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L1$. Bei der Spiegelung von $P^{\prime }$ an $h$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L2$.
Somit sind $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ alle rechte Winkel und wir erhalten das Rechteck $\overline{GHL1L2}$.

Daraus folgt, dass $L1L2||GH$, woraus man folgern kann, dass $P{P}^{″}||GH$
2.
Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) $\overrightarrow{GH}\cong \overline{L1L2}$
2) $|\overline{L1L2}|=|\overline{L1P^{\prime }}|+|\overline{P^{\prime }L2}|$	Zwischenrelation (gilt nur für die Annahme, dass P in einer anderen Halbebene bezüglich g liegt wie h, für die anderen Fälle müsste der Beweis aber ähnlich ablaufen.)
3) $2|\overline{L1P^{\prime }}|=|\overline{P{P}^{\prime }}|$ , $2|\overline{P^{\prime }L2}|=|\overline{P^{\prime }{P}^{″}}|$	Definition Geradenspiegelung
4) $|\overline{P{P}^{″}}|=2|\overline{L1L2}|=2|\overline{GH}|$	(1), (2), (3)

- Steph85

Aufgabe 3

Es seien $Z_1$ und $Z_2$ zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel $\frac{\alpha }{2}$ und $\frac{\beta }{2}$ supplementär.

Man beweise: $D_{Z_2,\beta }\circ D_{Z_1,\alpha }=V_{2\overrightarrow{Z_1{Z}_2}}$.

Beweis

Ist dieser Satz überhaupt korrekt?
--Tja??? 18:19, 28. Nov. 2010 (UTC) Ich denke nicht. Zwar ist das Ergebnis zweier solcher Drehungen eine Verschiebung, die Richtung ist jedoch eine andere und die Länge ist auch eine andere(außer $\alpha =\beta =180$). Hier ein Gegenbeispiel:

A und das Bild der Verschiebung stimmen nicht über ein!