Sätze WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen

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== '''Sätze''' ==
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=====Satz I.1=====
= Sätze =
:Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
 
== Sätze I ==
 
===Satz I.1===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
 
===Satz I.2 (Kontraposition von Satz I.1)===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
 
===Satz I.3 (Existenz von drei Geraden)===
Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
 
=== Satz I.4 (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie)===
 
Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.
 
===Satz I.5===
Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
 
===Satz I.6===
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
 
===Satz I.7===
Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
 
 
 
== Sätze II ==
 
=== Satz II.1 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
 
=== Satz II.2 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
 
=== Satz II.3 ===
Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.
 
Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
 
=== Satz II.4 ===
Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>.
 
Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.
 
 
 
== Sätze III ==
 
=== Satz III.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) ===
Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
 
 
 
== Sätze IV ==
 
=== Satz IV.1 ===
Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.
 
=== Satz IV.2 ===
Halbebenen sind konvexe Punktmengen
 
=== Satz IV.3 ===
Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
 
 
 
== Sätze V ==
 
=== Satz V.1 ===
Das Innere eines Winkels ist konvex.
 
=== Satz V.2 ===
Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.
 
=== Satz V.3 (Existenz von rechten Winkeln) ===
Es gibt rechte Winkel.
 
=== Satz V.4 ===
Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
 
=== Satz V.5 (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) ===
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.
 
 
 
== Sätze VI ==
 
=== Satz VI.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ===
Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
 
=== Satz VI.1 1/2 ===
Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.
 
=== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)===
Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
 
 
 
== Sätze VII ==
 
=== Satz VII.1  ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
 
=== Satz VII.2 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.
 
=== Satz VII.3 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
 
=== Satz VII.4 (Kongruenzsatz WSW) ===
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden  3 Kongruenzen
 
:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
 
gelten,
<br />dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math>  kongruent zueinander.
 
=== Der Kongruenzsatz SSS ===
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.
 
=== Satz VII.5 Basiswinkelsatz ===
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
 
=== Satz VII.6 (Mittelsenkrechtenkriterium) ===
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.
 
=== Satz VII.6a ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
 
:(hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.)
 
=== Satz VII.6b ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.
 
:(notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)
 
 
 
== Sätze VIII ==
 
=== Satz VIII.1 (schwacher Außenwinkelsatz) ===
Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.
 
==== Lemma 2 ====
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> .
 
==== Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.
 
==== Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
 
 
 
== Sätze IX ==
 
=== Satz IX.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 
=== Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) ===
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.  


=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
<math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.


=====Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
=== Satz IX.3 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) ===
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.  


=====Satz I.5:=====
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.


=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.


=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.


== Sätze X ==


===== Satz II.1 =====
=== Satz X.1 (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen.


===== Satz II.2: =====
Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.


===== Satz II.3 =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.


===== Satz II.4 =====
== Sätze XI ==
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.
[[Category:Einführung_Geometrie]]


=== Satz XI.1 (Existenz von Parallelen) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.


===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.




===== Satz IV.1 =====
== Sätze XII ==
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.


===== Satz IV.2 =====
=== Satz XII.1 (Stufenwinkelsatz) ===
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.
=== Satz XII.2 (Wechselwinkelsatz) ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.


===== Satz IV.3 =====
=== Satz XII.3 ===
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.

Aktuelle Version vom 21. Januar 2011, 10:29 Uhr

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Sätze

Sätze I

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2 (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3 (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.4 (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie)

Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

Satz I.5

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.


Sätze II

Satz II.1

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {Zw} \left(C,B,A\right) $.

Satz II.2

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $.

Satz II.3

Es sei $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $ mit $ \ A,B,C $ sind paarweise verschieden.

Dann gilt $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(A,C,B\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(B,A,C\right) $.

Satz II.4

Es sei $ \ O $ ein Punkt einer Geraden $ \ g $.

Die Teilmengen $ \ OA^{+}\setminus \left\{O\right\} $, $ \left\{O\right\} $ und $ \ OA^{-}\setminus \left\{O\right\} $ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $ \ g $.


Sätze III

Satz III.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.


Sätze IV

Satz IV.1

Wenn $ \ Q_{2} $ ein Punkt der Halbebene $ \ {gQ_{1}}^{+} $ ist, dann gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-} .

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.


Sätze V

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Satz V.2

Wenn der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P im Inneren des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB und nicht auf einem der Schenkel des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASP und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle PSB jeweils kleiner als die Größe des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB .

Satz V.3 (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Satz V.4

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Satz V.5 (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g eine Gerade der Ebene $ \ \mathrm {E} $. Ferner sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P ein Punkt auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g . In der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon gibt es genau eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ s , die durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P geht und senkrecht auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g steht.


Sätze VI

Satz VI.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Satz VI.1 1/2

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SW^+ die Winkelhalbierende des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASB . Dann gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB | .

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.


Sätze VII

Satz VII.1

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.2

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.3

Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Satz VII.4 (Kongruenzsatz WSW)

Wenn für zwei Dreiecke $ {\overline {ABC}} $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{DEF} die folgenden 3 Kongruenzen

  1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} \cong \overline{DE}
  2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle CAB \cong \angle FDE
  3. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ABC \cong \angle DEF

gelten,
dann sind die beiden Dreiecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{DEF} kongruent zueinander.

Der Kongruenzsatz SSS

Hier dürfen und sollen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

Satz VII.5 Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Satz VII.6 (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ M von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \overline{AB} , wenn für jeden Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P \in\ M gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AP} \cong \overline{BP} .

Satz VII.6a

Wenn ein Punkt $ \ P $ zu den Endpunkten der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} .

(hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} gehört.)

Satz VII.6b

Wenn ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P zur Mittelsenkrechten der Strecke Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} gehört, dann hat er zu den Punkten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ A und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ B ein und denselben Abstand.

(notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{AB} gehört)


Sätze VIII

Satz VIII.1 (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Lemma 2

Wenn ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P im Inneren des Winkels $ \angle ASB $ liegt, dann liegt der gesamte Strahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SP^+ im Inneren des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASB .

Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.


Sätze IX

Satz IX.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P außerhalb einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g gibt es genau ein Lot von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g .

Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|

Satz IX.3 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{ABC} ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

$ \left|\alpha \right|>\left|\beta \right|\Rightarrow \left|a\right|>\left|b\right| $


Sätze X

Satz X.1 (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ b zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ c jeweils geschnitten werden. Es seien ferner Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \beta zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ c mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ b entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha und $ \ \beta $ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ b parallel zueinander.


Sätze XI

Satz XI.1 (Existenz von Parallelen)

Zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P außerhalb einer Geraden Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g gibt es eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ h , die durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P geht und parallel zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g ist.


Sätze XII

Satz XII.1 (Stufenwinkelsatz)

Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und $ \ b $ zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.

Satz XII.2 (Wechselwinkelsatz)

Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.

Satz XII.3

Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ a und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.

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