Lösung von Aufg. 8.1: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
← Zum vorherigen Versionsunterschied
VisuellWikitext
Engel82 (Diskussion | Beiträge)
584 Bearbeitungen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Schnirch (Diskussion | Beiträge)
5.107 Bearbeitungen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
(4 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />


== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) ==
Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br />
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br />
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| es ex. genau ein Punkt <math> B^* \in AB^+ </math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>
| Axiom III.1
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\overline{AB^{*}}</math> existiert und ist eindeutig
| (I), Def. Strecke
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| AB^{*} \right| > \left| AB \right|</math>
| Rechnen in <math> \mathbb{R} </math> und <math> \pi </math> > 1
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right) </math>
| (I), (III), Def. Zw
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>
| (IV)
|}
==vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen==
<u>Vor:</u> <math>\overline{AB}</math> <br />
<u>Beh:</u> es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />


Vor: <math>\overline{AB}</math> <br />
Beh: es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />


1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br />
1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br />
Zeile 14: Zeile 44:
<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br />
<math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br />
6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5<br />
6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5<br />
7)<math>\overline{AB}</math><br /> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br />
7)<math>\overline{AB}</math> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br />
8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke<br />
8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke<br />
9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br />
10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
<br />
<br />
Rückfragen zu diesem Beweis:<br />
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?<br />
das ergibt sich aus 3) und 4)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
Wozu dient Schritt 6)?<br />--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)<br />
richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 14:00 Uhr

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke AB‾ existiert genau eine Strecke AB*‾ mit |AB*|=π|AB| und AB‾⊂AB*‾.

Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke AB‾⊂AB+
Behauptung: es existiert genau eine Strecke AB*‾ mit |AB*|=π|AB| und AB‾⊂AB*‾

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) es ex. genau ein Punkt B*∈AB+ mit |AB*|=π|AB| Axiom III.1
(II) AB*‾ existiert und ist eindeutig (I), Def. Strecke
(III) |AB*|>|AB| Rechnen in ℝ und π > 1
(IV) Zw⁡(A,B,B*) (I), (III), Def. Zw
(V) AB‾⊂AB*‾ (IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: AB‾
Beh: es existiert AB*‾ mit |AB*|=π|AB|;AB‾⊂AB*‾.


1)AB‾__________________________________laut Vor
2) es existiert g: A∈g und B∈g_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
|AB*|=π|AB|
5) Zw(A,B, B*), da π größer als 1 ist gilt:_____________4)
AB*‾ größer als AB‾
6)|AB|+ |BB*| =|AB*|___________Def. Zw und 5
7)AB‾ für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)∪(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8)AB*‾ für die gilt:(AB‾∪ (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9)AB‾⊂AB*‾.
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)

Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?

das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
Abgerufen von „http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Lösung_von_Aufg._8.1&oldid=5693“