Lösung von Aufg. 8.2: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 14:06 Uhr

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{A B}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A B^{*}}$ mit $| A B^{*} | = \frac{1}{π} | A B |$ und $\overline{A B^{*}} \subset \overline{A B}$ .

Lösung --Schnirch 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{A B} \subset A B^{+}$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A B^{*}}$ mit $| A B^{*} | = \frac{1}{π} | A B |$ und $\overline{A B^{*}} \subset \overline{A B}$

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^{} \in A B^{+}$ mit $\| A B^{} \| = \frac{1}{π} \| A B \|$	Axiom III.1
(II)	$\overline{A B^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(III)	$\| A B^{*} \| < \| A B \|$	Rechnen in $ℝ$ und $\frac{1}{π}$ < 1
(IV)	$Zw (A, B^{*}, B)$	(I), (III), Def. Zw
(V)	$\overline{A B^{*}} \subset \overline{A B}$	(IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: $\overline{A B}$
Beh: Es existiert $\overline{A B^{*}}$ , $| A B^{*} | = \frac{1}{π} | A B |$ , $\overline{A B^{*}} \subset \overline{A B}$ .

1) $\overline{A B}$ ___________________laut Vor

2) es existiert ein Strahl AB+_________________Def. Strahl

3) es existiert genau ein Punkt B* auf_______________________Axiom vom Lineal
dem Strahl AB+ für den gilt: $| A B^{*} | = \frac{1}{π} | A B |$

4) $π$ ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R
$\frac{1}{π} k l e i n e r a l s 1 i s t, d a r a u s f o l g t w i e d e r u m | A B^{*} |$ kleiner als $| A B |$

5) Zw(A,B*,B)____________________________4)

6) $| A B^{*} |$ + $| B B^{*} |$ = $| A B |$ _________Def. Zw 5)

7) $\overline{A B^{*}} : = (P Z w (A, P, B *)) \cup (A B *)$ ________________Def. Strecke

8) $\overline{A B}$ := $\overline{A B^{*}} \cup$ (P\ Zw(B*,P,B) $\cup (B)$ _____Def. Strecke

9) $\overline{A B^{*}} \subset \overline{A B}$ _________________________7) und 8) --Engel82 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--Schnirch 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC)

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 Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br />
+== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC) ==
+Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br />
+Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math> <br />
+{| class="wikitable "
+|+ Beweis
+! Nr.
+! Beweisschritt
+! Begründung
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|(I)
+| es ex. genau ein Punkt <math> B^* \in AB^+ </math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|</math>
+| Axiom III.1
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|(II)
+| <math>\overline{AB^{*}}</math> existiert und ist eindeutig
+| (I), Def. Strecke
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|(III)
+| <math>\left| AB^{*} \right| < \left| AB \right|</math>
+| Rechnen in <math> \mathbb{R} </math> und <math> \frac{1}{\pi} </math> < 1
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
+| <math> \operatorname{Zw} \left( A, B^*, B \right) </math>
+| (I), (III), Def. Zw
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|(V)
+| <math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>
+| (IV)
+|}
+== vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen ==
 <u>Vor</u>:  <math>\overline{AB}</math> <br />
 <u>Beh:</u> Es existiert  <math>\overline{AB^{*}} </math>, <math>\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right| </math>,<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br />
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 ) <math>\pi</math> ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R<br />
-<math>\frac{1}{\pi} kleiner als 1 ist, daraus folgt wiederum \left| AB^{*} \right|</math> kleiner als <math>\left| AB \right|</math><br />
+<math>\frac{1}{\pi} kleiner als 1 ist, daraus folgt wiederum  \left| AB^{*} \right|</math> kleiner als <math>\left| AB \right|</math><br />
 ) Zw(A,B*,B)____________________________4)<br />
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 )<math>\left| AB^{*} \right|</math> + <math>\left| BB^{*} \right|</math>= <math>\left| AB\right|</math>_________Def. Zw 5)<br />
-)<math>\overline{AB^{*}} :=(P\Zw(A,P,B*))\cup (AB*)</math>________________Def. Strecke<br />
+)<math>\overline{AB^{*}} :=(P\ Zw(A,P,B*))\cup (AB*)</math>________________Def. Strecke<br />
+)<math>\overline{AB}</math>:= <math>\overline{AB^{*}}\cup</math>(P\ Zw(B*,P,B)<math>\cup (B)</math> _____Def. Strecke<br />
-)<math>\overline{AB}</math>:= <math>\overline{AB*}</math> <math>\cup</math>(P\ Zw(B*,P,B)<math>\cup (B)</math> _____Def. Strecke<br />
+)<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>_________________________7) und 8)
+--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)
+ Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC)
-)<math>\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}</math>.<br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)
+[[Category:Einführung_Geometrie]]

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