Lösung von Aufg. 6

Es seien A, B und C drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie:

$Zw(A,B,C)\Rightarrow \mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$ <br\>

Lösung--Schnirch 12:33, 22. Dez. 2010 (UTC)

Vor.: $Zw(A,B,C)$
Beh.: $\mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$
Annahme: $Zw(B,A,C)$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|AB|+|BC|=|AC|$	Vor., Def. Zw.
(II)	$|BA|+|AC|=|BC|$	Annahme, Def. Zw.
(III)	$|BA|+|AB|+|BC|=|BC|$	I, II, Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(IV)	$|BA|+|AB|=0$	(III), Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(V)	$|BA|+|BA|=0$	(IV), Axiom II/2
(VI)	$2|BA|=0$	(V), Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(VII)	$|BA|=0$	(VI), Rechnen in $\mathbb{ℝ}$
(VIII)	$B\equiv A$	(VII), Axiom II/1
(IX)	Widerspruch zur Voraussetzung	(VIII), Vor.
(X)	Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!	(IX)