Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1.1

Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff Bewegung

(Definition 1.1)

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. Pipi Langsocke 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

$EsseiEeineEbene,\phi eineAbbildungmit\phi :E->E.$
$\phi heisstBewegunggenaudann,wenn\phi laengenerhaltendist.$
--Peterpummel 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST)

Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.

Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --Flo60 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -Pipi Langsocke 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

Aufgabe 1.2

Definieren Sie die Begriffe injektiv und surjektiv

injektiv: Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

surjektiv: Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. Pipi Langsocke 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)

Bessere Version von Pipis Definition (injektiv):
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden.
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist.

Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet.
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen:
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" höchstens ein Element in der Definitionsmenge M.
--Sternchen 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)

Definieren Sie die Begriffe injektiv und surjektiv

$Definitioninjektiv:$
$Esseien{M}_1,M_{2}Mengen,\phi eineAbbildungmit\phi :M_1->M_2.$
$\phi istgenaudanninjektiv,wennfolgendesgilt:$
$\phi (x)=\phi (y)\Rightarrow x=y$

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat.
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

$Definitionsurjektiv:$
$Esseien{M}_1,M_{2}Mengen,\phi eineAbbildungmit\phi :M_1->M_2.$
$\phi istgenaudannsurjektiv,wennfolgendesgilt:$
$\mathrm{\forall }y\in M_2\mathrm{\exists }x\in M_{1}mit\phi (x)=y$
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert.
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv. Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen.
--Peterpummel 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

Ich fass nochmal zusammen.

Eine Relation ist genau dann eine Funktion, wenn sie a) linkstotal und b) rechtseindeutig ist.

a) linkstotal,

d.h. jedem Element der Menge $M_1$ ist mindestens ein Element der Menge $M_2$ zugeordnet,

d.h. es gibt kein Element in der linken Menge, von dem kein Pfeil weggeht.

b) rechtseindeutig (eindeutig),

d.h. jedem Element der Menge $M_1$ ist höchstens ein Element der Menge $M_2$ zugeordnet,

d.h. es gibt kein Element in der linken Menge, von dem mehrere Pfeile weggehen,

d.h. die Zuordnung ist von links nach rechts eindeutig.

Eine Funktion ist genau dann eine Bijektion, wenn sie a) rechtstotal und b) linkseindeutig ist.

a) rechtstotal (surjektiv),

d.h. jedes Element der Zielmenge $Z$ ist mindestens einem Element der Definitionsmenge $D$ zugeordnet,

d.h. es gibt kein Element in der rechten Menge, auf das kein Pfeil auftrifft.

b) linkseindeutig (umkehrbar eindeutig, injektiv),

d.h. jedes Element der Zielmenge $Z$ ist höchstens einem Element der Definitionsmenge $D$ zugeordnet,

d.h. es gibt kein Element in der rechten Menge, auf das mehrere Pfeile auftreffen,

d.h. die Zuordnung ist von rechts nach links eindeutig.

--Sternchen 12:28, 27. Okt. 2011 (CEST)

Aufgabe 1.3

Ergänzen Sie die folgende Tabelle

Abbildung	Umkehrabbildung
$x^2,x\ge 0$	$sqrt(x)$ , $x\ge 0$ -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
$\sin (x),0\le x\ge 1$	$\arcsin (x)$ -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
Drehung um Z mit Drehwinkel $\alpha$	Drehung um Z mit dem Drehwinkel $-\alpha$. -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) Sind negative Winkel erlaubt? Ich hätte gesagt wie in der Vorlesung 360°$-\alpha$ --Sternchen 20:51, 26. Okt. 2011 (CEST) Ja, negative Winkel gehen auch. --Sternchen 12:01, 27. Okt. 2011 (CEST)
Spiegelung an der Geraden $s$	bleibt gleich -Pipi Langsocke 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen $0\le x\le \pi$ ?
--Sternchen 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST)
OK, also $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ beim Arkussinus und $0\le x\le \pi$ beim Arkuskosinus, alles klar.
--Sternchen 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

Aufgabe 1.4

Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien ${\beta }_1$ und ${\beta }_2$ zwei Bewegungen.

zu zeigen:

${\beta }_2\circ {\beta }_1$ ist eine Bewegung.

$Esseien{M}_1,M_2,M_{3}Ebenen,P,Q\in M_1.$
${\beta }_1,{\beta }_{2}mit\beta 1:M_1->M_{2}und{\beta }_2:M_2->M_{3}Bewegungen,d()seidieAbstandsfunktion$
$zz.:{\beta }_3:={\beta }_2\circ {\beta }_{1}isteineBewegung,alsod({\beta }_3(P),{\beta }_3(Q))=d(P,Q)$

$Beweis:$

$EsgiltnachVoraussetzung:$
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)}
$d({\beta }_1(P),{\beta }_1(Q)=d({\beta }_2({\beta }_1(P)),{\beta }_2({\beta }_1(Q))),da{\beta }_{2}eineBewegungist(**).$
$aus(*)und(**)\Rightarrow d(P,Q)=d({\beta }_3(P),{\beta }_3(Q)\Rightarrow {\beta }_{3}isteineBewegung$
--Peterpummel 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)