Serie 03

Zu den Lösungsversuchen

Aufgabe 3.1

(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$. Ferner sei $g$ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $Z$ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $M$ auf $g$ mit $k$. Wir definieren eine Abbildung $\phi$ von $k{\setminus }_Z$ auf $g$: $\mathrm{\forall }P\in k{\setminus }_Z:\phi (P)=ZP\cap g$. Ist $\phi$ fixpunktfrei?

Aufgabe 3.2

Es sei $X=\{(x,0)|x\in \mathbb{ℝ}\}$. Wir definieren auf $X$ die folgende Abbildung $\phi$: $\mathrm{\forall }(x,0)\in X:\phi ((x,0))=(x,{\sin }^{2}x)$. Jedes Element des ${\mathbb{ℝ}}^2$ fassen wir als Punkt auf. Hat $\phi$ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)

Aufgabe 3.3

Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $B$ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $P$hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $(x_p,y_p)$. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $B$ die folgende Abbildung $\phi$: $\mathrm{\forall }P\in B:\phi (P)=(\mathrm{z}ufallsbereich(0;1920),\mathrm{z}ufallsbereich(0;1080))$¹. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $\phi$ einen Fixpunkt hat?

¹ müsste das nicht φ(P)=(zufallsbereich(0;1919),zufallsbereich(0;1079)) heißen, weil es nur 1920x1080 Pixel gibt (mit allen rechnerischen Konsequenzen)? Dr.plag.Schavan (Diskussion) 13:02, 1. Aug. 2014 (CEST)

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie: wenn eine Bewegung $\phi$ zwei verschiedene Fixpunkte $A$ und $B$ hat, dann hat ist die Gerade $AB$ eine Fixpunktgerade bezüglich $\phi$.

Aufgabe 3.5

Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte $A,B,C$ Fixpunkte der Bewegung $\phi$ sind, so ist $\phi$ die identische Abbildung.